Obsesión Irracional

Hay un infinito en el que se han perdido corduras y hallado secretos insondables: el infinito número de dígitos de los irracionales.  

«He encontrado una manera sencilla de probar la aleatoriedad de los dígitos de pi pero no me cabe en un trino #FermatStyle» 
Enero 8 de 2013
http://bit.ly/trino-pi

Loco por Pi

Estoy fascinado con los números irracionales.  No sé si será mi Síndrome de Asperger incipiente (*se ríe nerviosamente) o si solo soy un humano más que descubre un maravilloso secreto de las matemáticas que había estado ahí desde siempre.

Por mi formación científica conozco claramente el concepto de «número irracional».  He operado y escrito números irracionales en cuadernos, tableros y computadores mas que cualquier otro ser humano (pero como cualquier otro científico sano).  He sorprendido a mis estudiantes con datos curiosos sobre el irracional más popular e importante de la geometría, pi, y he lanzado bromas en clase y conferencias sobre él.  Pero parece que solo ahora me doy cuenta de lo fascinante que estos bichos pueden llegar a ser.

Algunos amigos me han advertido que la cordura de hombres sanos se ha perdido en el Universo infinito de sus dígitos interminables.  Pero yo solo quiero conocerlos mejor, descubrir aquello que siempre estuvo ahí y que nadie me había incitado a explorar a fondo.

Ahora bien ¿qué tan a fondo se puede llegar? En realidad los números irracionales son entidades bastante simples: números no enteros con una cantidad infinita de dígitos décimales que se repiten sin seguir cualquier patrón reconocible. Contrastan ellos con los números racionales que o bien tienen un número finito de dígitos decimales (2.5) o teniendo un número infinito, estos se repiten de forma predecible (1.333…).  Punto.  No hay casi nada más interesante que decir, desde el punto de vista formal, sobre estos números reales; o por lo menos nada que no sea interesante decir también sobre cualquier otro tipo de real (espero que los matemáticos no se estén revolcando en sus sillas al leerme escribir esto)

¿Entonces? ¿Dónde esta la fascinación? He aquí un par de propiedades que hacen de estos números, en primer instancia aburridos, verdaderas gemas de las matemáticas (y seguramente del Universo).

Si bien los dígitos decimales de los números irracionales no se repiten en patrones definidos, surge la pregunta de si lo hacen en patrones mucho más complejos, ocultos todavía al entendimiento humano.  Echen un vistazo un momento a esta cacofonia aparentemente aleatoria de números [1]:

3.141592653589793238462643383279502884197
16939937510582097494459230781640628620899
86280348253421170679821480865132823066470
93844609550582231725359408128481117450284
10270193852110555964462294895493038196442
88109756659334461284756482337867831652712

¿Ven ustedes allí algún patrón reconocible? Si lo hacen es posible que requieran asistencia psiquiátrica profesional.

Se trata como habrán notado de los primeros 244 dígitos decimales de pi.  Si se cuenta con cuidado notarán que el dígito «0» se repite 20 veces, el «1» 24, el «2» 29, el «3» 24, el «4» 28, el «5» 24, el «6» 22, el «7» 17, el «8» 31 y el «9» 25.  Si bien la frecuencia de los dígitos es diferente (el 7 parece anormalmente infrecuente y el 8 extrañamente repetido) también lo es el número de décimales que hemos arbitrariamente elegido para este ejemplo.  Al aumentar de 244 a 1’000,000 de decimales, el número de veces que cada número se repite es aproximadamente 100,000 (con fluctuaciones menores del 1% alrededor de este valor), es decir exactamente una décima parte del número de dígitos elegido.

Este mismo experimento, pero no con 1 millón, ni con 100 millones sino con varios miles de millones de dígitos décimales ha devuelto hasta ahora el mismo resultado: la probabilidad de que cualquiera de los números del 0 al 9 aparezca en pi es exactamente la misma.  En otras palabras pi contiene exactamente el mismo número de 1s que de 2s o de 8s.  A esta propiedad los matemáticos la llaman la «normalidad» del irracional y tiene consecuencias sencillamente fantásticas: cualquier secuencia de dígitos, por larga y extraña que parezca, se encontrará entre los décimales de pi.

Fue así justamente como surgió la famosa anécdota del físico Richard Feynman cuando comentó que le gustaría saber en que punto entre los dígitos décimales de pi se encontraría repetido 6 veces el 9 (una elección aparentemente arbitraria).  De encontrarla, decía Feynman, podría recordar todos los dígitos hasta esa posición y alardear diciendo que «el valor de pi es 3.141592….999999 y así sucesivamente».  Pues el ahora denominado «punto de Feynman» existe: en la posición 762 dentro de los dígitos decimales del famoso irracional aparece esta «improbable» secuencia [2].  Lo increíble de la anécdota es que asumiendo que cada dígito es independiente, la probabilidad de encontrar cualquier secuencia de 6 dígitos repetidos es de 1/10 · 1/10 · 1/10 · 1/10 · 1/10 · 1/10 = 1/1’000,000 y por lo tanto harían falta en promedio 1’000,000 de dígitos para esperar encontrar algo así.  Parecería «cosa del demonio» encontrar entonces 6 «9s» consecutivos tan solo en los primeros 1,000 dígitos de Pi.  Pero no hay realmente nada raro en esto ¡así es el azar! Feynman no tenía ningún pacto con el demonio, ni tenía rezado a pi (si calculáramos también la probabilidad de que entre los gringos de las primeras décadas del siglo XX naciera un científico que fuera al mismo tiempo un genio de la física, una buena persona, un buen profesor, un buen músico, un buen dibujante y hasta un tipo «pispo» también habríamos tenido que esperar unos 5 siglos para que lo hiciera y aún así tuvimos un Feynman)

En un irracional normal, cualquier otra secuencia puede buscarse también.  Piense en su cédula, el número de teléfono de su novio o novia, su fecha de nacimiento (escrita solo con números), cualquiera.  Si la busca con paciencia la encontrará entre los decimales de pi.  Lo más increíble es que todo los números de teléfono, todas las fechas de nacimiento de las personas vivas (¡y de las muertas!) están también enterrados en algún sitio entre los décimales de pi.  Para hacer las cosas más raras piensen en esto: si codificaramos las letras del alfabeto con números (naturalmente los números del 0 al 9 no serían suficiente y necesitaríamos por lo menos dos dígitos así 00 = ‘a’, 01 = ‘b’, etc.), podríamos buscar en la lista interminable de caracteres resultantes el nombre de todos los seres humanos, la primera frase del quijote o el texto completo de Macbeth.

Por fantástico que esto parezca no tiene en realidad nada de raro, así es el azar.  Si me sentará con paciencia a dictar una secuencia aleatoria de números del 0 al 9 (sin ninguna relación con pi o con cualquiera otro de los irracionales famosos) conseguiría eventualmente nombrar las mismas secuencias improbables.  Pi (o cualquier irracional «normal») son el análogo a ese famoso simio que e sienta frente a una máquina de escribir y que después de un tiempo muy grande termina, sin querer, escribiendo de corrido el texto completo de «100 Años de Soledad» (sin errores ortográficos como seguramente los tuvo el imperfecto y predecible García Márquez)

Pero si esto no es lo más especial que tienen los números irracionales ¿qué es entonces? En una analogía con otra paradoja bien conocida sobre el Universo (que se debe a Einstein o a cualquier anónimo que se escudo en su fama e inteligencia para acuñar esta frase) lo raro de la naturaleza no es que la comprendamos parcialmente sino que pueda ser comprendida en primer lugar.  De forma análoga, lo raro de Pi (o de otros irracionales ilustres) no es que sus dígitos parezcan escogidos al azar, sino demostrar rigurosamente qué es así.  Pero no a través del simple conteo o de experimentos con computadoras, que son insuficientes cuando hablamos de un número infinito de décimales, sino a través de la sacrosanta inducción matemática.  Aquella herramienta poderosa que es capaz de demostrar cosas increíbles como que entre el cuadrado de dos números enteros consecutivos cualquiera hay siempre al menos un número primo [3].

El reto ha escapado a los matemáticos de todos los tiempos.  Sigue siendo un problema abierto aún hoy en pleno siglo XXI.

Los más escépticos podrían preguntarse: ¿cómo es posible que un número tan fantástico y único como pi tenga dígitos que bien podrían haber salido de la máquina de escribir de un simio díscolo? Una alternativa es que exista en Pi, en e (la base de los logarítmos naturales) o en Fi (el número aureo) patrones secretos, formas de organización desconocidas.  Es en esa búsqueda en la que se han perdido mentes una vez lúcidas.

Para los amigos que se preocupan les doy un parte de tranquilidad: yo tampoco creo que hayan patrones ocultos en Pi y la verdad no intentaré buscar nada.  Ahora solo me obsesiona saber como probar que es un número «normal».

Como lo prometí en el trino que abre esta entrada, creo tener una pista de cómo podría probarse la normalidad de Pi y por ahí derecho de los números irracionales.  No me cabía en un trino pero en una entrada de blog aburrida como esta, creo poder esbozarla.

Como científico he tenido una relación profunda con la estadística.  En realidad la estadística podría considerarse la más «científica» de las áreas de las matemáticas (que no es propiamente una ciencia natural, pero bueno, esa es otra discusión que no daremos ahora).  Yo personalmente vivo fascinado con la heurística propia de la estadística , que solo he visto en la construcción y desarrollo de teorías de la física o la astronomía.

Precisamente desde la estadística me hago la siguiente pregunta: si los dígitos de pi son una secuencia de números aleatorios distribuídos uniformemente (todos son igualmente probables), la clave de su aleatoriedad debe residir en cualquier proceso que sea capaz de crear esta secuencia y para el cuál podamos demostrar su intrínseca aleatoriedad.  Pero los dígitos de pi no fueron creados en un proceso natural.  Son lo que son desde siempre.  Pero hay una propiedad matemática muy curiosa (para quienes no estén familiarizados con el cálculo) que relaciona a Pi con números «más triviales» y que podría ofrecernos claves inesperadas.  Pi puede obtenerse realizando la siguiente operación simple entre fraccionarios (llamada entre los expertos una «serie»):

pi = 4 ( 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …)

Bueno, parece una operación sencilla, pero la verdad es que para llegar al valor exacto de Pi hay que sumar infinitos fraccionarios.  Parece increíble que un número irracional, con las propiedades descritas anteriormente, pueda «surgir» de la suma de racionales simples:

pi = 4 (1 – 0.33333333… + 0.2000000… – 0.142857142857… + 0.11111111111… – …)

Es decir el azar de los dígitos de pi es el resultado de la suma de decimales perfectamente predecibles.  Para mi esto es ¡sencillamente increíble!

Otros irracionales pueden «crearse» de formas análogas:

e = 2 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + …

Psi = 2 + 1/3 + 1/5 + 1/8 + 1/13 + …

(este último irracional se conoce como la «Constante de los Inversos de Fibonacci» otra historia fascinante que contaremos en otra oportunidad ¿o no?).

Pero también números enteros y racionales pueden obtenerse a partir de series similares:

2 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …

1.5 = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + …

Entonces y aquí viene mi «conjetura» ¿podrá la aleatoriedad de los dígitos de los irracionales ser probada a partir de las propiedades estadística que tienen los dígitos predecibles de aquellos racionales de los que resultan por una simple suma?

Al ver las series que dan como resultado 2 y 1.5 me doy cuenta que sus términos están altamente correlacionados: 8 es el doble de 4, 16 es el doble de 8, etc. o bien 9 es el triple de 3, 27 el triple de 9 y así sucesivamente. En su lugar, los términos de las series que «generan» a pi o a e parecen más «independientes» (al menos estadísticamente): 1, 3, 5 son simplemente números impares.

¿Podrán esas diferencias explicar la normalidad de Pi, e o Psi? No tengo idea y la demostración tampoco me cabe en una entrada de blog.  Pero ahí les dejo la inquietud y tal vez la idea para que alguien demuestre que mi conjetura es una falacia o la aproveche para construir una demostración verdadera (a quien lo haga solo le pido que con lo que obtenga de la Medalla Fields me pague al menos un año de cuenta premium con WordPress)

Aunque ya me he extendido exageradamente, no quiero terminar esta entrada sin mencionar un último hecho fascinante sobre los irracionales.  Si bien Pi es un irracional fantástico, en realidad sólo existe en los mundos igualmente fantásticos de las idealizaciones geométricas.  Pi es la razón entre el perímetro de una circunferencia idealizada y su diámetro.  En el mundo «real» es difícil conseguir una circunferencia de la perfección requerida para obtener Pi.  Pero hay otros números que podrían ser también irracionales y que resultan de nuestra interacción directa con el mundo.  Así por ejemplo si se divide la energía de la luz de un rayo laser entre la frecuencia de esa misma luz (y que esta escrita en la etiqueta en la parte de atrás del laser) el resultado es un múltiplo entero de un número muy importante para la física: la Constante de Planck, h.

Según las últimas determinaciones h = 6.6260695729 × 10⁻³⁴ (en unidades del Sistema Internacional)  La pregunta ahora sería ¿es h un número irracional? A diferencia de los irracionales de la geometría o la teoría de números, h no es una abstracción ni resulta de la operación elemental entre otras abstracciones.  La constante de Planck es una propiedad fundamental de la naturaleza.  Demostrar que es o no un irracional no será tan fácil como demostrar que pi o e lo son (en realidad esta última prueba es tema de los primeros cursos de cálculo en la Universidad).  Aún así parece interesante formularse la pregunta de si pudiéramos incrementar indefinidamente la precisión en la medida de la energía y la frecuencia del rayo Láser de modo que el valor de h tuviera más y más dígitos decimales, ¿descubriríamos nuevamente una cacofonía de dígitos en lugar de un patrón definido?  ¿Podría suceder lo mismo con otras constantes de la naturaleza? Si fuera así muchas cantidades físicas fundamentales serían también por «transitividad» números irracionales: la velocidad de los planetas en sus órbitas, la frecuencia de las notas músicales, la distancia entre los átomos de Carbono en un cristal de diamante.  Viviríamos entonces en un Universo Irracional.  Si así lo probáramos, Pitágoras y sus seguidores arderían de rabia en sus tumbas.

Notas y referencias:

No quiero acostumbrarme a escribir notas y referencias para mis entradas de blog porque esa fue justamente la razón por la que deje de escribir hace 6 años mi último blog: era demasiado trabajo y para trabajar ya tengo una pila de papers por escribir.  Sin embargo esta entrada es diferente.  Esta llena de cosas que podrían ser muy divertidas para los gomosos, de modo que aquí van:

[1] Si alguien quiere jugar un poco con los decimales de Pi le recomiendo esta rudimentaria herramienta que escribí en Python y C para «minar» sus primeros mil millones de  de dígitos décimales (que deberán descargar independientemente como explica el README de la herramienta).  No es necesario saber programar para jugar un poco con ella.  La herramienta esta disponible en: http://bit.ly/pi-mining. Justamente con esa herramienta obtuve los primeros 244 dígitos que presento aquí y también calcule la frecuencia de los números del 1 al 9 en el primer millón de dígitos décimales del irracional.

[2] Hay un sitio genial que permite hacer búsquedas casi instantáneas de patrones arbitrarios en las primeras 200 millones cifras décimales de Pi.  El sitio es: http://bit.ly/pi-busqueda.  No se conformen con hacer búsquedas insulsas.  Traten de leer las cosas adicionales que contiene el sitio (entre todos los «ads» insoportables que lo acompañan)

[3] En realidad nadie ha logrado demostrar esta afirmación, que se conoce popularmente como la Conjetura de Legendre.  ¡Los reto a que lo hagan! Primero les recomiendo matricularse en un buen programa Universitario de Matemáticas y empezar a pensar en dónde van a hacer el doctorado en teoría de números.

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