Trinoceronte

Porque 140 caracteres a veces no son suficientes

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Júpiter para Curiosos

Después de 5 años y 35 minutos de “apretar el asterisco”, los científicos y técnicos de la misión Juno al planeta Júpiter han podido al fin descansar.  La nave se encuentra a esta hora “parqueada” comodamente en una elongada órbita alrededor del planeta, esperando los próximos “perijoves” para empezar a hacer un montón de ciencia.  Lo que es a mi como divulgador científico y maestro por igual, me encanta utilizar datos curiosos para acercarnos a la ciencia y en este caso para que entendamos la importancia que para todos en el mundo de las ciencias planetarias tiene esta misión.  He aquí una colección de datos curiosos sobre Júpiter, sus lunas y naturalmente sobre la sonda Juno que compile el día de la llegada de la nave al planeta.  Como siempre mis seguidores en twitter (los de verdad y los de mentiras) los leyeron primero allí.  Aquí los reproduzco agregando uno que otro detalle que no me cupo en 140 caracteres

“¡Hoy es día de #Jupiter! En lo sucesivo y hasta que se apaguen los quemadores de #Juno voy a soltar datos curiosos sobre el planeta y la misión
Julio 4 de 2016
http://bit.ly/trino-datos-jupiter

Ir rápido: Una imagen dice más que mil palabras1,000 TierrasSorpresasAuroras volcánicas. Júpiter mortalCámara fritaMisión suicidaLa patadita de la buena suerteJEDIHumedad en JúpiterJúpiter, un lugar “oscuro”Una forma anormal. Radiografiados por Júpiter. Miel de Júpiter. Enfant Terrible. Jupiter FM. La constelación magnética. Dínamo. Auroras a unos kilómetros. Auroras en esteroides. Una aplastante realidad.

Una imagen dice más que mil palabras

¿De qué tamaño es #Jupiter y su mancha roja? (¡fantástica animación de @PlanetarioMed!)
http://bit.ly/29kgKvt

Crédito: Planetario de Medellín

Crédito: Planetario de Medellín

1,000 Tierras

#Jupiter tiene un volumen 1421 veces mayor que la Tierra pero en él cabrían solo 901 Tierras
¿por qué?
http://bit.ly/29OCIaP

Crédito: Mark Garlick/Science Photo Library. Tomada de: Discover Magazine

Crédito: Mark Garlick/Science Photo Library. Tomada de: Discover Magazine

Este es un asunto un poco truculento.  Estamos acostumbrados a escuchar en astronomía, a veces, que el Sol es 100 veces más grande que la Tierra y otras que es millones de veces mayor ¿cuál es la verdad?.

Es importante que al comparar cuerpos astronómicos (o terrestres) siempre aclaremos si estamos comparando su tamaño (diámetro, radio, lado), su volumen o su masa.  Por ejemplo Júpiter tiene un tamaño (diámetro) 11.2 veces mayor que el de la Tierra.  Esto quiere decir que si se pone a Júpiter en una mesa habría que poner 11.2 Tierras una encima de la otra para igualarlo en “altura”.

Pero ¿cuántas tierras caben adentro de Júpiter?.

Un cuerpo esférico con un diámetro 11.2 veces mayor que la Tierra tiene un volumen aproximadamente 1400 veces mayor.  Eso significa que si fundiéramos la roca de ~1400 Tierras podríamos hacer una bola de roca fundida del tamaño de Júpiter.  Pero no significa que podamos acomodar las 1400 pelotas dentro de una esfera hueca con el tamaño del planeta.  Si se ponen una encima de otra las esferas dejan espacios vacíos entre ellas.  Como resultado, después de acomodar 1400 Tierras el volumen ocupado por ellas sería mayor a 1,400 veces el volumen de cada esfera. ¿Ven el problema?

Fue Johannes Kepler el primero en proponer una solución al problema.  Según Kepler si se acomodan con cuidado esferas, una encima de la otra en una configuración conocida como “cúbica centrada en la cara” (ver imagen abajo) del volumen ocupado por todo el conjunto solo el 74% sería ocupado por las bolas.  Sin embargo acomodar cientos de esferas una encima de otra en un arreglo tan ordenado sería más que una hazaña.  Si al contrario las lanzamos al azar adentro de una esfera hueca del tamaño de Júpiter, del volumen total de la esfera solo el 64% sería ocupado por las bolas más pequeñas.

Naranjas acomodadas de la forma más compacta según Kepler y acomodadas al azar

Naranjas acomodadas de la forma más compacta según Kepler y acomodadas al azar

En conclusión si usamos 64% x 1400 es decir unas 900 Tierras podríamos llenar el interior de Júpiter.  Pero si nos esforzamos con la paciencia de monje Tibetano podríamos acomodar hasta 75% x 1400 Tierras adentro del gigante, es decir casi 1,000 Tierras o 100 más que en el caso anterior.

Sorpresas

Cada misión a #Jupiter ha traído sorpresas: Pioneers, planeta líquido; Voyagers, anillos; Galileo, ¿poca agua?
http://bit.ly/29kh39y

Júpiter ha sido visitado por más de 6 sondas desde los años 70; la mayoría de ellas simplemente sobre volaron el planeta.  ¿Quién no recuerda las imágenes espectaculares de las Voyager que conocimos por estas latitudes en los años 80? Solo una de ellas (además de Juno por supuesto) se parqueo a su lado y estudio en detalle el planeta y sus lunas, la nave Galileo.  De todas hemos recibido detalles que no nos esperábamos.  Si bien en el trino original mencione que las Voyagers nos habían revelado la existencia de los anillos, mi buen amigo Julian Mauricio Arenas me corrigió.  Fueron las Pioneers las que descubrieron los anillos.  Las Voyagers nos trajeron otros secretos como por ejemplo la existencia de volcanes activos en la superficie de Io.  Estamos ansiosos por conocer los secretos que nos enviara Juno.

Auroras volcánicas

A diferencia de la Tierra, las partículas responsables de las auroras en #Jupiter son de Io y no del Sol  http://bit.ly/siderofilia-jupiter
http://bit.ly/29qLo86

Auroras de Júpiter en Ultravioleta. Crédito: NASA/HST

Auroras de Júpiter en Ultravioleta. Crédito: NASA/HST

El enlace en el trino apunta a una entrada de mi blog Siderofilia de Investigación y Ciencia que escribí a propósito del impresionante campo magnético de Júpiter.  La imagen arriba no acompañaba el trino original.

Júpiter mortal

Si viajaras al lugar donde esta #Juno hoy sin protección, morirías en menos de 1 hora
http://bit.ly/29xuqYE

Radiación en Júpiter

Los niveles de radiación en los cinturones de radiación de Júpiter dentro de los que se estará moviendo Juno pueden producir en casi cualquier cuerpo que pongamos allí una deposición de energía de varias decenas de millones de rads.  1 rad equivale aproximadamente a 0.002 calorías de radiación absorbidas por kilogramo.  Se calcula que una exposición sostenida de 200 rad empieza a producir quemaduras en la piel.  Los “rem” de la figura son unidades sutilmente diferentes a los rads.   Sin embargo para el cuerpo humano una exposición de 1 rem equivale aproximadamente a 1 rad.

Cámara frita

#JunoCam q’tomará las mejores fotos d’#Jupiter, se “freirá” por la radiación después de solo 7 órbitas
http://bit.ly/29u2fs0

Fotos de la JunoCam tomadas en el sobrevuelo de Juno a la Tierra en 2013

Fotos de la JunoCam tomadas en el sobrevuelo de Juno a la Tierra en 2013

Las primeras fotos que recibamos de Júpiter serán tomadas por la JunoCam, la única cámara en luz visible a bordo de Juno.  La cámara que tiene propósitos más de divulgación que de investigación científica, fue probada en su sobrevuelo a la Tierra (al recibir de nuestro planeta la patadita final que necesitaba para alcanzar a Júpiter) en el año 2013.  Lo triste es que los diseñadores calculan que la electrónica de la cámara se irá deteriorando por la exposición a la radiación a medida que avance la misión.  ¡Esperamos que se equivoquen!

Misión suicida

Hablamos del inició de #JunoMission, pero ¿cómo terminará?. ¡se suicidará dentro de #Jupiter!
http://bit.ly/29iQ26G

Es interesante anotar que una de las razones por las cuáles los diseñadores de la misión decidieron lanzarla a las nubes del planeta en lugar de dejarla vagar, tal vez frita por la radiación, alrededor del planeta por años, es el riesgo de contaminar sus lunas con “polizones” biológicos que puedan estar atrapados entre los fierros de la nave (obviamente en estado de hibernación microbiana).  ¡Muy cuidadosos!

La patadita de la buena suerte

#Juno recibió un empujón de la Tierra de 7 km/s. Nuestro planeta perdió 1 trillonesima de m/s
http://bit.ly/29u48Fo

JEDI

#Juno lleva a bordo un JEDI* para q’le ayude con la “Fuerza” (*Jupiter Energetic particle Detector)
http://bit.ly/29qUkKC

El sensor JEDI de partículas que lleva Juno

El sensor JEDI de partículas que lleva Juno

El JEDI es el sensor que nos ayudará a entender mejor el ambiente de radiación de Júpiter.  Es único en tanto permite capturar partículas de mucha energía provenientes de distintos ángulos al mismo tiempo.  Vamos a ver que nos dice sobre el medio ambiente de Júpiter.

Humedad en Júpiter

Es todavía un misterio cuánta agua, carbono o nitrógeno hay dentro de #Jupiter ¡#Juno ayúdanos!
http://bit.ly/29qUBNK

La cantidad de agua dentro de Júpiter es un misterio

La cantidad de agua dentro de Júpiter es un misterio.  Crédito: Markus Reugels / Rex Features

En los años 90 cuando una sonda atmosférica enviada por el orbitador Galileo se sumergió en la atmósfera encontró menos agua de la que esperaban los expertos jovianos.  Júpiter se formo muy lejos del Sol y debería contener grandes cantidades de agua y otras sustancias volátiles.  Hoy no sabemos si fue un golpe de mala suerte (si la sonda cayo en un sitio de la atmósfera de Júpiter particularmente seco) o si es el estado general de la atmósfera del planeta.  Juno nos ayudará a resolver el misterio.

Júpiter, un lugar “oscuro”

Con los enormes paneles solares de #Juno a la distancia de #Jupiter se pueden encender… 5 bombillos
http://bit.ly/29qW7zq

Los enormes paneles de Juno en el laboratorio antes de ser lanzados

Los enormes paneles de Juno en el laboratorio antes de ser lanzados

Juno no es una nave con paneles solares sino más bien unos paneles solares con instrumentos científicos. Las grandes aspas que caracterizan la nave le garantizan la energía necesaria para operar en el espacio.  A diferencia de otras sondas jovianas, Juno es la primera que no lleva baterías nucleares en su periplo.  Toda su energía viene del Sol.  Pero a la distancia de Júpiter el brillo del Sol es casi 25 veces menor que en la Tierra, lo que hace más complicado la operación de una nave hambrienta de energía.

Una forma anormal

La órbita de #Juno no es una elipse normal (precesa) porque #Jupiter no tiene una forma normal
http://bit.ly/29hVDtd

La órbita de Juno no se cierra sobre si misma debido a la forma del planeta

La órbita de Juno no se cierra sobre si misma debido a la forma del planeta

Desde la escuela nos enseñan que todos los cuerpos astronómicos pequeños dan vuelta alrededor de los más grandes en perfectas órbitas elípticas (ovaladas), que se repiten hasta la eternidad, tal y como lo demostró Newton hace unos de 350 años.  No ese es el caso de las órbitas de las naves como Juno que se aproximan a gigantes achatados como Júpiter.  Al no ser completamente esféricos sus campos gravitacionales no son tan perfectos como se los imagino Newton y de la misma forma las órbitas son imperfectas también.

Júpiter es casi 10% más pequeño en los polos que en el ecuador

Júpiter es casi 10% más pequeño en los polos que en el ecuador

Radiografiados por Júpiter

De modo que quisieras estar donde estará #Juno hoy…
http://bit.ly/29hZXNt

Radiación en Júpiter

Unas horas en los cinturones de radiación de Júpiter, entre los que se estará moviendo Juno en los próximos meses, equivalen a tomarse 100 millones de radiografías dentales.  ¡Mejor nos quedamos en casa!

Miel de Júpiter

La densidad media d’#Jupiter es aproximadamente la misma del Sol y de la miel de Maple
http://bit.ly/29xI0Lu

Densidad media de Júpiter

Si metes a Júpiter en un recipiente gigante (de dimensiones astronómicas literalmente) y lo revuelves con fuerza por mucho tiempo (como preparando una natilla ¡pero aún más!), la sustancia resultante tendría la misma consistencia de la miel.  Es importante aclarar que no es que esa sea la consistencia del interior del planeta, que es más denso que eso por la presión.  Como me decía alguien en twitter, Júpiter es literalmente un buen destino para planear una “luna de miel”.

Enfant Terrible

Cuando #Jupiter nació era dos veces más grande de lo que lo vemos ahora
http://bit.ly/29iVnLa

Júpiter en el pasado

A diferencia de la Tierra que esta hecha de “fluidos” relativamente incompresibles (no “incomprensibles”, ¡pilas!), Júpiter se ha venido comprimiendo desde que nació.  Lo hace actualmente a un ritmo de 2 centímetros por año, aunque mide de lado a lado 140 millones de centímetros de modo que no lo veremos desaparecer pronto.  Al comprimirse se calienta y ese calor lo emite en la forma de luz infrarroja.  La cantidad de luz que produce de esa forma es más o menos igual a la que le llega desde el Sol.  En comparación la cantidad de calor que produce nuestro planeta (principalmente por la radiactividad de sus rocas) es 1,000 veces menor que la que recibe del Sol.

Jupiter FM

#Jupiter es la segunda estación de radio más poderosa del Sistema Solar
http://bit.ly/29xJQMr

Las ondas de radio son producidas por partículas cargadas (principalmente electrones) que se mueven en bucles en el campo magnético del planeta.  Fue precisamente observando estas ondas de radio que supimos antes de que llegará cualquier nave, que Júpiter tenían un poderoso campo magnético.

La constelación magnética

Si pudiéramos ver la magnetósfera de #Jupiter en el cielo esta noche ¡sería más grande que la luna!
http://bit.ly/29xLy0p

Estamos hablando de ver un “cuerpo” situado a más de 700 millones de kilómetros de la Tierra ¡nada más miren el tamaño de esto visto en el cielo!  Y eso sin mencionar que la cola de la magnetosfera va hasta más allá de Saturno de modo que en ciertas condiciones la magnetosfera podría cubrir buena parte del cielo nocturno.

Dínamo

Después de #Juno el dínamo de #Jupiter (donde nace su magnetismo) será el mejor entendido de Sistema Solar
http://bit.ly/29nJZkH

Dinamo de Júpiter

Simulación que muestra la compleja estructura del dínamo de Júpiter en el interior del planeta. Crédito: J. Wicht, MPS

El “dínamo” es un complejo mecanismo físico responsable por convertir un minúsculo campo magnético en una monstruosa envoltura de campos y partículas alrededor de un planeta.  Funciona donde haya un fluido capaz de conducir la electricidad (en este caso el interior de Júpiter es en un 80% un líquido conductor hecho de Hidrógeno), rotación y mucha turbulencia (inducida por el calor que produce el planeta).  La Tierra también tiene su dinamo, pero este solo opera en el núcleo del planeta.  A diferencia del dínamo de la Tierra, que debería ser el mejor entendido, el dínamo de Júpiter es “visible” sin impedimentos si se pone lo suficientemente cerca un sensor de campo magnético.  Esto es lo que hará justamente Juno.  En la Tierra la cosa es mas complicada porque entre el dínamo y nuestros instrumentos hay medio planeta de roca (el manto de la Tierra) y una capa sólida con propiedades magnéticas (la corteza de la Tierra) que interfiere en las observaciones.  Es por eso que el de Júpiter después de Juno será el dínamo mejor entendido del Sistema Solar.

Auroras a unos kilómetros

Así se ven las auroras de #Jupiter desde 150 millones de kilómetros ¿se imaginan las imágenes de #Juno tomadas a menos de 500,000 km?
http://bit.ly/29nLpf6

Crédito: NASA/HST

Crédito: NASA/HST

Esta imagen fue tomada con el telescopio espacial Hubble a más de 700 millones de kilómetros de Júpiter (no 150 millones como dije en el trino).  Las imágenes son tomadas en ultravioleta (por eso se ven de colores un poco extraños).  Ya se imaginaran las imágenes que vamos a recibir de Juno que tiene las “narices” pegadas a Júpiter.  ¡Este pensamiento solo me hace salivar!

Auroras en esteroides

Las auroras de #Jupiter son 5 veces más grandes que las de la Tierra… perdón, ¡que toda la Tierra completa!
http://bit.ly/29wJ1UA

Auroras de Júpiter y auroras de la Tierra

El montaje lo capture durante una de las ruedas de prensa previas a la llegada de Juno. La imagen de las auroras de Júpiter es del Hubble

Una aplastante realidad

Si pusiéramos a la Tierra en el centro de #Jupiter se aplastaría hasta un tamaño similar al de Marte
http://bit.ly/29lUnLe

Tierra y Marte

Se calcula que la presión en el centro de Júpiter es inmensa: 80 millones de veces mayor que la presión en la atmósfera de la Tierra (que es a su vez igual a 10 toneladas por metro cuadrado).  A esas presiones la materia se comporta de formas todavía desconocidas (los experimentos más extremos en la Tierra solo logran producir presiones cercanas a los 5 millones de atmósferas).  Lo que si sabemos es que cualquier material por duro que sea ocuparía un volumen mucho menor que el que ocupa en el vacío.  Así, si la Tierra fuera transportada hasta allí, a las inmensas presiones reinantes en este infierno posiblemente se contraería hasta el tamaño de Marte (tal vez más o menos, no sabemos exactamente).  Incluso el hipotético núcleo rocoso que se sospecha tiene el planeta y que pesa hasta 14 veces lo que pesa la Tierra esta comprimido a un tamaño similar al de nuestro planeta.

 

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Un lugar para la intuición

¿Habrá alguna fuerza intelectual más poderosa que la intuición? Posiblemente no.  Aún así nos esforzamos por mantenerla lo más lejos que podemos de las aulas de clase o de cualquier otra actividad académica o de entrenamiento intelectual.  Si diéramos a la intuición el lugar que se merece en la academia, de la misma que lo hacen otras actividades que requieren entrenamiento como las artes o el deporte, estoy seguro que tendríamos niños, jóvenes y adultos produciendo buenas ideas desde lo alto de una gran autoestima.  Pero, ¿cómo lograrlo? ¿cómo “entrenar” o al menos abrir un campito a la intuición en las aulas de clase y otras actividades académicas?

“Un genio es una persona que cuando adivina acierta casi todo el tiempo. Si no dejamos a los niños adivinar ¿cuándo descibriran que son genios?
Marzo 9 de 2014
http://bit.ly/trino-genios-adivinando

Es claro que ser racional o razonable es la característica más importante de un buen académico.  Es también un rasgo que cultivamos en estudiantes y aprendices en todo tipo de actividades intelectuales de alto nivel tales como la ciencia o la técnica.  Sin embargo, a veces muy a menudo, se nos pasa por alto que en realidad los momentos más importantes en el desarrollo de buenas ideas o de su transformación en cosas que funcionan, son aquellos en los que no razonamos.  Momentos de lucidez gratuita en las que las ideas más increíbles (y a veces también las más alocadas) se nos vienen a la cabeza sin estar precedidas por un razonamiento: suposición, hipótesis, tesis, demostración, …  ¿Quién habla en nombre de nosotros (y lo hace a veces de forma tan brillante) en esos momentos? Pues no es otra que nuestra maravillosa intuición.

Yo la llamo el “pensamiento de los intestinos”.  Pensar con el estomago, le dirán otros (aunque este es más bien el caso de lo que uno hace cuando va al mercado con hambre).  Creatividad, la llaman otros, aunque aquí la comparación es injusta (la creatividad es algo mucho más complejo).  En otras palabras, la intuición es lo que hace el cerebro cuando no lo están acosando.

Creo que para nadie es ya un secreto que el cerebro hace cosas que no siempre pasan por el control de nuestra mente consciente y mucho menos de nuestra mente “lingüistica”.  Esa que le pone palabras, sintaxis y gramática a algunos de los pensamientos más complejos y que no puede con otros aún más interesantes cuando están en gestación.  No hay duda de que el cerebro hace mucho más que controlar nuestros movimientos, mantener funcionando nuestros sistemas orgánicos, almacenar lo que percibimos o pensamos e incluso razonar.  A veces el cerebro hace cosas que sencillamente no podríamos encajar en ninguna de las categorías anteriores por mucho que intentáramos buscar un modelo para que lo hicieran.  Pero la intuición no es tampoco aquellas cosas que hacemos por reflejo o por el entrenamiento sofisticado de nuestro sistema motor capaz de completar complejos cálculos físicos por ejemplo para golpear una bola de billar en el lugar exacto de modo que realicé piruetas impensables.

Entre esa “materia oscura” de la actividad cerebral esta la intuición.  La misma que le permitió a Einstein imaginarse que la gravedad era un fenómeno geométrico aunque ninguna ecuación matemática en su época se lo dijera; o la que hizo que Alan Guth y otros cosmólogos de su época imaginaran la teoría inflacionaria en un tiempo en el que no había ninguna evidencia que la antecediera.  La intuición es la que produce aquel apunte certero justo en medio de una pregunta que hacemos en una conferencia.  La que hace a un buen conferencista (uno con una intuición poderosa) ser un gran conferencista.  La que te hace contradecir a un grupo de “genios” dotados de una tonelada de evidencia “racional” en favor de algo, de que lo que quieren hacer no va a funcionar.

Pues bien: aún con todas esas propiedades asombrosas de la intuición y su rol fundamental en la creación de nuevas ideas, hay un único lugar donde la intuición es sistemáticamente excluida: en un aula de clase.

La intuición esta intimamente relacionada con dos primas cercanas: la adivinanza y el error.  Nadie quiere enseñar a un niño o a un joven a adivinar la respuesta a una pregunta o un problema.  El error es duramente sancionado, incluso en contextos donde debería ser sistemáticamente promovido.  Estas dos fuerzas han mantenido a la intuición lejos de los estudiantes y del proceso de enseñanza aprendizaje por mucho tiempo.  Aún así hay un “lugar” en la academia en el que la intuición sigue teniendo un (secreto) papel: las evaluaciones.  Allí, en la intimidad del cerebro del aprendiz, la intuición a veces es la única herramienta disponible para la solución de un problema.  El que no es tímido la usa sistemáticamente pero nunca sin un cierto sentimiento de culpa.  Adivinar parece impúdico en un examen.  Equivocarse es sencillamente fatal.  Las dos cosas son terribles para el aprendizaje.

Si a este punto puede reconocer la verdad siquiera de una parte de lo que digo, posiblemente se esté formulando también la pregunta ¿cómo hacer para darle un lugar explícito a la intuición y el error en la educación?

Mi experiencia docente en los últimos años me ha enseñado que si dejas que los estudiantes adivinan es mucho mejor que si los obligas a “razonar” o a “recordar” (que es casi lo mismo) todas las respuestas.  Mi lema en clase es que “si después de 5 segundos de pensar no tienes la respuesta, pues adivínala”.  Si bien no he hecho medidas rigurosas del resultado de esta bienvenida explícita a la intuición, he visto la cara de satisfacción de muchos cuando descubren que “adivinaron” correctamente ante una pregunta difícil.  Más positiva es la experiencia cuando les explico que es difícil que el cerebro realmente “adivine” cualquier cosa.  La mayoría de las acciones o pensamientos que producimos en un contexto dado tienen un origen concreto en nuestra compleja red de recuerdos y pensamientos no estructurados, que forman el fondo de nuestra consciencia.  No existe en realidad casi nada de aleatorio en “adivinar”.  Cuando lo hacemos lo que realmente estamos es dándole un espacio a la intuición.

¿Y si se equivocan adivinando? Siempre hay una manera de profundizar para entender porque la “intuición” o la “voz de los intestinos” de un estudiante, no fue capaz de acertar ante una pregunta.  En este sentido podría ser aún mas educativo no acertar en una adivinanza que hacerlo.  Al final solo hay una gran ganadora: la autoestima.  Como reza el trino que abre esta entrada, ¿qué es ser un genio sino adivinar sistemáticamente y acertar casi todo el tiempo? ¿cómo esperamos que nuestros estudiantes descubran que son verdaderos genios o simplemente muy buenos en algo si no los dejamos adivinar? 

Es obvio que no en todo se puede adivinar.  Solo en lo importante.

El Hombre en las Estrellas

Clyde Tombaugh no solo fue uno de los más afortunados Astrónomos de la historia.  100 años antes que la Astronomía siquiera sospechara de que el sistema solar se extendía más allá de las orbitas de los planetas más lejanos, el Americano descubrió (por pura casualidad) un cuerpo diminuto perteneciente a una extirpe nueva de cuerpos, de los cuales, el segundo miembro solo pudo detectarse 62 años después.  Como humano, además, al morir recibió uno de los premios soñados por cualquier mortal: parte de su cuerpo, convertido ahora en cenizas, estará entre las estrellas… LITERALMENTE.

“#UnDato Clyde Tombaugh es el primer ser humano cuyas cenizas estarán entre las estrellas: van a bordo de la nave New Horizons ”
Febrero primero de 2014
http://bit.ly/trino-cenizas-tombaugh

Recipiente con parte de las cenizas de Clyde Tombaugh adheridas a la Nave New Horizons que en su camino al espacio interestelar sobrevolará el ex-planeta Plutón

Recipiente con parte de las cenizas de Clyde Tombaugh adheridas a la Nave New Horizons que en su camino al espacio interestelar sobrevolará el ex-planeta Plutón

En 2006 los Estados Unidos lanzaron al espacio la que se convertirá en la sexta pieza de chatarra humana en el espacio interestelar.  No parece un record increíble para una civilización acostumbrada a lanzar billones de toneladas de basura a su entorno planetario y espacial inmediato, pero es que las estrellas están muy lejos.  Dennos un poco más de tiempo (geológico) y les llenaremos la Galaxia de basura.

Como toda la chatarra y otras formas de basura, esta nueva pieza de escombros tendrá una misión previa antes de convertirse en una fría colección de metales, semiconductores, plastico e increíblemente, restos humanos.  Nos referimos nada más y nada menos que a la afamada nave espacial “Nuevos Horizontes” o New Horizons por su nombre original en Inglés y que en Julio de 2015 pasará rasante (sin siquiera detenerse a tomar un descanso) cerca a Plutón y sus acompañantes planetarios.

Pero ¿cómo es eso de restos humanos? ¿se refiere usted a los restos de piel que dejaron los técnicos cuando ensamblaron los equipos o soldaron los circuitos que mantendrán funcionando la nave por unas décadas? No.  En realidad nada de quienes construyeron la nave la acompañaran en su largo paseo.  Debe recordarse que todos los vehículos espaciales de exploración interplanetaria se construyen con un grado extremo de limpieza y dudo que lleve como pasajera una escama de piel o unas decenas de células muertas.  Los restos humanos que lleva New Horizon a bordo son las cenizas de un Americano Clyde Tombaugh, famoso por el descubrimiento fortuito del que por más de 70 años fue el noveno planeta del Sistema Solar, Plutón.

La idea de colocar un puñado de átomos de Carbono que alguna vez estuvieron en los huesos y uñas de Tombaugh (porque la mayor parte de los átomos en el resto de su cuerpo se volvieron gases liberados en una cámara de cremación) es rendir un homenaje al descubridor precoz del que será uno de los objetivos finales de la misión: el mini sistema planetario formado por Plutón y sus lunas.  Lo novedoso: ningún otro ser humano puede contar esta historia.  Los átomos que han formado los cuerpos de todos los individuos de la historia han sido reciclados una y otra vez en la Tierra y si no están enterrados en el manto podrían estar siendo respirados en este momento por cualquiera de ustedes o devorados en granos de arroz mientras comen.

Aunque un puñado de átomos esta lejos de ser un humano, es significativo saber que aquellos átomos que acompañaron los últimos meses o años de la vida de un miembro de nuestra especie, están viajando hoy a una increíble velocidad de casi 60,000 km/h rumbo a un punto situado en el cielo en la constelación de sagitario (ver mapa abajo).  Con esto Clyde Tombaugh se convertirá literalmente en nuestro primer “Hombre en las Estrellas”.  El sueño de Hércules o Perseo que solo ocurrió en la imaginación de los griegos se habrá realizado para un humilde mortal nacido en un pueblo de Illinois, Estados Unidos.

La flecha roja marca el punto hacia el que se dirigé la nave New Horizons en su viaje hacia las estrellas.

La flecha roja marca el punto hacia el que se dirigé la nave New Horizons en su viaje hacia las estrellas.  El punto esta localizado cerca a la estrella E2 de la constelación de Sagitario en coordenadas RA 18h 59m 14s, DEC -20g 45′ 33″.

Números, La Secuela

He comprobado lo que sospechaba: los seres humanos somos tan malos para “contar” que difícilmente creo que alguien entienda de verdad lo que dice cuando afirma con la boca llena que la Tierra tiene 40,000 km de perímetro o que hay 1,000 millones de neuronas.  La aplicación de un sencillo test muestra que cerca del 80% de los adultos no son capaces de adivinar cuántas cosas hay en un lugar si su número supera una cifra cercana a 100.

“Resultados del Test de Zuluaga: los adultos difícilmente sabemos “contar” hasta más de 100 http://bit.ly/resultados-test-zuluaga
Febrero 20 de 2014
http://bit.ly/trino-test-zuluaga-resultados

segment4-normalized-2-0_100En una entrada pasada (léala aquí, “Números“) discutía un hecho difícil de obviar.  Los humanos somos malos con los números.  Y no me refiero a que no sepamos nombrarlos o a que sepamos hacer operaciones sofisticadas con ellos.  Me refiero a que nuestra intuición tiene de todo menos de numérica.  Si nos pusieran como conferencistas delante de un auditorio con 500 personas, 1 de cada 2 aseguraría que hay menos de 200 y lo que es peor 1 de cada 20 podrían decir que hay casi 1,000.

Para comprobar esto diseñe un sencillo test.  Los que no lo han probado todavía los invito a hacerlo antes de leer esta entrada.  No les tomará más de 1 minuto.  No hay que pensar mucho y ni siquiera tendrán realmente que contar uno a uno los objetos.  Solo “contar” con las visceras.  El test lo pueden encontrar aquí: El Test de Zuluaga.

En el test le presente a más de 250 voluntarios, 5 imágenes con símbolos de colores del mismo tamaño regados en un área cuadrada.  En algunos casos los símbolos estaban regados al azar y en otros se encontraban organizados en filas y columnas.  El número de símbolos en las imágenes variaba en rangos controlados.  Para este experimento escogí 4 rangos: 10 a 30 objetos, 30 a 100, 100 a 500 y más de 500 (de 500 a 2000).  Por supuesto el conejillo de indias nunca sabía en que rango estaba (y los que lean esto y no han presentado el test por supuesto ya lo sabrán de modo que sus resultados tendrán seguramente un sesgo)

¿Por qué esos rangos?  Primero, porque intuía que hasta más o menos 30 cuerpos nuestra habilidad para “contar” es normalmente buena (hice unos experimentos sencillos con mis conejillos de india favoritos, mis hijos y esposa); menos de 10 es trivial hasta para un niño (miren este test tan bonito que me hizo conocer @cedec1).  Entre 30 y 100 empiezan las dificultades pero todavía la gente puede lograr algo decente.  Más de 100, difícil, pense.  Y miles, casi imposible.  En síntesis: los rangos se basaron justamente en mis propias intuiciones numéricas… ¡nada muy confiable!

¿Cuáles fueron los resultados?  Un reporte gráfico detallado con los resultados hasta la fecha en la que escribo esta entrada, 20 de febrero de 2014, lo pueden encontrar en la página http://bit.ly/resultados-test-zuluaga.  Saquen ustedes mismos sus conclusiones.  Yo les presento aquí las mías.

252 personas participaron del experimento, un 65% hombres y otro 35% mujeres (¡no entiendo por qué la asimetría!)  Las edades oscilaron entre los 16 y los 68 años (¡vaya rango!)  La edad de la mayoría oscilaba entre los 20 y los 25 años, tratándose principalmente de estudiantes universitarios (60%)  No faltaron los chistosos que en lugar de responder con números al test, respondieron con las palabras “millones” o “muchos” o los que nunca quisieron entregar su edad, sexo o educación.  Ninguno de ellos fue tenido en el análisis final.

Para analizar las respuestas compare, por cada segmento (entre 10 y 30, 30 y 100, etc.) la respuesta provista por las personas y el valor correcto del número de cuerpos en las imágenes.  Así, si una imagen tenía 100 círculos y la respuesta era de 80, calcule la diferencia (-20); para ser justos con rangos mayores (por ejemplo en el rango mayor a 500 un error de 20 es poco), dividí este resultado por el valor real.  Así el -20 del ejemplo anterior se convirtió en -0.2 o -20%.  En otras palabras una persona que dijo que habían 80 puntos en una gráfica de 100 obtuvo un puntaje de -20%.  A continuación conte el número de respuestas en intervalos de puntaje: de -100% a -90%, de -90% a -80% y así sucesivamente.  En estadística llamamos a eso construir un histograma de los datos.  En la figura a continuación les muestro por ejemplo los histogramas de puntajes para el rango de 30 a 100 objetos.

Puntaje del test para entre 30 y 100 puntos distribuídos al azar.

Puntaje del test para entre 30 y 100 puntos distribuídos al azar.

Puntaje del test para entre 30 y 100 puntos distribuídos por filas y columnas.

Puntaje del test para entre 30 y 100 puntos distribuídos por filas y columnas.

Como se ve allí, tan solo un 14% de las personas le atinaron al número de puntos (equivocándose solo por unas pocas unidades, ej. 43 en lugar de 45).  Esto en el caso en el que los puntos aparecieron regados al azar.  Sin embargo cuando los puntos estaban organizados el número de aciertos se duplico a un 28%.  Podría decirse que los adultos somos buenos para contar objetos organizados.  Sin embargo, también es posible interpretar este resultado diciendo que muchos hicieron “trampa” y contaron consciente o inconscientemente el número de filas y columnas (que a lo sumo eran 10 en este caso)  Bueno, trampa es una palabra muy fuerte.  Digamos que fueron recursivos a pesar de que las instrucciones claramente decían que no lo fueran “cuente sin contar”.

Es significativo notar como en el caso de los números regados al azar, hubo 3 veces más personas que “contaron” un número menor de puntos que el que realmente había (asimetría que no se presento notablemente cuando los puntos estaban organizados). 62% de las personas creyeron que habían menos puntos, frente a 24% que creyeron que habían mas.  Es decir, una vez nuestro cerebro deja de contar bien, subestimamos el número de cosas que vemos.

Pero 30 o 100 objetos es demasiado para nuestro “centro del conteo” en el cerebro.  Creería uno que a la gente le va mejor con menos de 30 cosas.  Sin embargo los resultados no parecen ser tampoco alentadores en ese caso.  En las figuras a continuación mostramos la distribución de puntajes en este rango para dos grupos de edades diferentes: menos de 25 años y más de 25 años.

Resultados para mayores  de 25 años cuando tienen que contar menos de 30 cosas.

Resultados para mayores de 25 años cuando tienen que contar menos de 30 cosas.

Resultados para menores de 25 años cuando tienen que contar menos de 30 cosas.

Resultados para menores de 25 años cuando tienen que contar menos de 30 cosas.

Si bien el puntaje en el rango de 10 a 30 es mas alto que en el rango de 30 a 100 (pasamos de 14% de aciertos a 25% de aciertos) esto es debido principalmente a personas mayores de 25 años.   Los menores solo obtuvieron un modesto 15% de aciertos y en su mayoría sobre estimaron el número.  Si bien no hay muchos datos para crear una “ley de números pequeños para pipiolos” podría decirse (irresponsablemente) que los jóvenes tienden a ver más objetos de los que realmente hay, sobre todo cuando hay un puñado de cosas.

Los resultados más tristes indudablemente son los que se obtienen cuando queremos “contar” más de 500 cosas.   Para resaltar lo mal que nos va, diseñe otro tipo de gráfico.  Para hacerlo calcule el puntaje de acierto, pero en lugar de poner -20% a alguien que dijerá 80 cuando hay 100, le asigne simplemente 20% (positivo)  Este puntaje entonces solo mide que tanto nos equivocamos, pero no reconoce si nos equivocamos por lo bajo o por lo alto.

Para representar los resultados de este “puntaje absoluto”, tampoco use un histograma normal.  En su lugar conté cuántas personas obtenían un valor mayor a un determinado puntaje, cuántos obtuvieron mas de 5%, mas de 10%, mas de 20%, etc.  Por supuesto el número de personas que obtuvieron un puntaje de más del 5% es mayor que los que obtuvieron más del 20% (los primeros incluyen a los segundos)  En estadística llamamos a esto el “histograma acumulado”.  En la siguiente figura muestro los histogramas acumulados para los rangos de 30 a 100 y de 500 en adelante.

Histograma acumulado de los puntajes en el rango de 30 a 100 (distribuidos aleatoriamente)

Histograma acumulado de los puntajes en el rango de 30 a 100 (distribuidos aleatoriamente)

Histograma acumulado en el rango de más de 500.

Histograma acumulado en el rango de más de 500.

Como se ve claramente allí, cuando nos piden contar cientos de cosas, quedamos completamente perdidos.  Mientras que un 89% de las personas que se les pidió “contar” entre 30 y 100 cosas, se equivocan por la mitad de ese número (es decir si les muestran 100 objetos 9 de 10 creerán que hay entre 50 y 100 o entre 100 y 150) cuando hay más de 500 objetos, más de la mitad creen que hay un número mayor o menor que el número real por más de un 50%.  Es decir 1 de cada 2 personas cuando se las pone frente a 1,000 objetos creerán que hay más de 1,500 o menos de 500.  ¡Vaya error!

Pero eso no es todo.  Al parecer con grandes números los adultos tendemos ver menos objetos de los que realmente hay.   Miren la tendencia en los gráficos abajo:

Resultados para menores de 25 años cuando tienen que contar menos de 30 cosas.

Resultados para menores de 25 años cuando tienen que contar menos de 30 cosas.

Puntaje del test para entre 30 y 100 puntos distribuídos al azar.

Puntaje del test para entre 30 y 100 puntos distribuídos al azar.

Resultados para el rango de 100 a 500.

Resultados para el rango de 100 a 500.

Resultados para la distribución de puntajes cuando hay más de 500 objetos

Resultados para la distribución de puntajes cuando hay más de 500 objetos

Se ve como el pico del puntaje se va corriendo significativamente a la izquierda (puntajes negativos) a medida que aumenta el número de objetos.

Un detalle curioso que se ve en la última figura de la serie anterior.  Dado que los puntos en las imagenes que tenían más de 500 objetos estaban organizados por filas y columnas, un número anormalmente para la tendencia de la figura, acerto (obtuvo un puntaje del 0%)  Esto  una de dos cosas: o bien muchos hicieron trampa y contaron filas y columnas o de nuevo parece que en promedio a los adultos nos va bien con el orden.

¿Y las diferencia entre hombres y mujeres?  No es muy notoria realmente.  Tal vez lo único que pude notar fue que las damas que respondieron el test en el rango entre 30 y 100 sobre ,estimaron con más frecuencia el número de objetos.  ¿Será este un signo de la tendencia femenina a sobre dimensionar las cosas?  ¡Definitivamente no! En otros rangos sus respuestas fueron muy similares a las de los hombres.

La conclusión definitiva para mí es que los adultos tendemos a fallar significativamente en nuestra apreciación intuitiva de la cantidad de cosas que hay en un lugar, cuando esa cantidad es de algunos centenares.  Estando la ciencia “poblada” de números que normalmente superan con creces esta cifra deberíamos preguntarnos si no hace falta que eduquemos mejor a los niños para intuir números cada vez más grandes.

Tal vez algunos opinen que no hace falta: contar solo es importante cuando uno tiene vacas o gallinas (que normalmente son menos que 100)  Pero la realidad es otra.  Cuando les consultaron a los ingenieros del Challenger cuál era la probabilidad de que el transbordador fallara dijeron que era 1 en 100,000; Richard Feynman, que tuvimos la suerte fuera uno de los investigadores, demostró que en realidad era 1 en 300.  ¿Sabe la gente realmente la INCREÍBLE, ABISMAL y FANTÁSTICA diferencia entre 100,000 y 300?  Yo creo que no.

Coda.  Agradezco a todos los amigos que me ayudaron a divulgar la entrada del blog en la que propuse esta reflexión y que fue el origen del Test de Zuluaga.  Gracias a sus retweets pude conseguir 250 incautos para el test.  Reconocerán a estos amigos por sus cuentas en twitter @PlanetarioMed, @emulenews, @ramirociencia, @blogmentes, @CDEC1.  Naturalmente también agradezco a los que sirvieron de conejillos de india.  Incluyendo los “tramposos”.

Advertencia final.  Esta entrada de blog carece del rigor de un artículo científico.  Sus métodos pueden ser considerados por investigadores realmente serios, bastante dudosos o mal fundamentados.  No use sus resultados como base de un trabajo más serio.  Mi único propósito aquí era divertirme investigando estas cosas y responder una pregunta que tenía desde hacía mucho tiempo.  Sin embargo si el trabajo llega a inspirar a alguien para hacer algo serio y bien fundamentado ¡no olvide enviarme una copia y una postal!

A los que preguntan… cómo hice esto en un par de días, es decir, inventarme un test, crear una página web para aplicarlo y después construir los histogramas arriba mostrados, les respondo fácilmente: suscríbanse a mi canal en YouTube “#PUM Prográmelo Usted Mismo” y siga mi blog con el mismo nombre.  Allí encontrarán cómo programar cosas como esta y otras aún más inútiles.  Todo lo que hice aquí lo programe en Python y PHP.

Números

¿Cuál es el número de estrellas que se ven en el cielo en una noche oscura? La formulación de esta pregunta elemental entre amigos, familiares o desconocidos puede encontrar respuestas de una diversidad numérica increíble.  Desde los que dicen que hay unos cientos hasta aquellos que han “contado” millones.  Nuestras intuiciones numéricas son increíblemente limitadas y aún así nos esforzamos por entender las dimensiones del Universo macroscópico y microscópico.

“La Astronomía es la mejor manera de probar que no intuimos muy bien los números. Solo oyendo la masa del Sol deberíamos sufrir un infarto
Febrero 14 de 2014
http://bit.ly/trino-numeros

puntos1¿Se sorprendería usted de saber que en la imagen que acompaña esta entrada hay un número de estrellas igual que las que se pueden ver en la totalidad del firmamento (incluyendo las que vemos por encima del horizonte y las que no vemos por debajo del horizonte)? Si lo hace, siéntase orgulloso: usted es un digno representante del género humano.

Cuándo estamos pequeños era común escuchar la pregunta “¿hasta cuándo sabes contar?”  Nos llenábamos la boca diciendo que contábamos primero hasta 100, luego hasta 1,000 y en el mejor de los casos hasta 1’000,000.   Al crecer, muy pronto descubrimos que contar es en realidad una habilidad medio tonta.  Recordar unas reglas bastante elementales para crear palabras aburridas que no son más que combinaciones de unos cuantos vocablos sencillos.

La verdadera habilidad para “contar” nunca la enseñan en la escuela.  A pesar de que aprendemos labores “computacionalmente” más complejas como patear un balón, saltar una cuerda o cantar un himno de 20 estrofas, nadie nos entrena para decir en pocos segundos cuántos objetos vemos en una multitud.  Me pregunto si incluso esta habilidad será entrenable.  Yo diría que sí.  He pensado comenzar un experimento incluso con Sofía mi princesa de 8 años.

¿Hasta cuánto sabe entonces contar un adulto normal? ¿10?, ¿100?, ¿1000?  Yo creo que todos nos sorprenderíamos al saber que en realidad es muy poco.  Para probarlo hagamos un sencillo experimento.  ¿podría usted decir (sin contar una a una) cuántas estrellas hay en la figura 2?

Figura 2.

Figura 2.

¿Quiere saber la respuesta? ¡Pues cuéntelas!

Juraría que le atino con un error inferior a unas 3 estrellas.  Para un número de objetos relativamente pequeño estimar la cantidad parece una tarea bastante natural.  Incluso personas con poca formación científica o cultura matemática serán tan buenas como otras acostumbradas a “calcular” cosas muy sofisticadas.   He probado con niños y parece que la habilidad de “adivinar” el número de un puñado de cosas esta programado en nuestros genes.

Pero, ¿cuánto es un puñado de cosas? ¿hasta donde llega nuestra capacidad de acertar con precisión? Intente con el ejemplo en la Figura 3.

Figura 3a.

Figura 3a.

Figura 3b.

Figura 3b.

¿Que tal ahora? ¿le sorprendería saber que hay el mismo número de triángulos tanto en la figura 3a como en la 3b? Cuéntelas y verifique su grado de acierto.  Tal vez no este muy sorprendido con el hecho de que ambos recuadros tengan el mismo número, pero sí con el nivel de desacierto en comparación con el resultado de la figura 2.  Si no es ese el caso, intente preguntarle a alguien más cuántos triángulos ve y se convencerá de que en estas figuras ya no hay un “puñado” de triángulos y que la mayoría errará por mucho más que el 30% de los objetos que hay allí.

Lo más sorprendente es que el número de cosas que hay en el gráfico anterior es bastante pequeño (169 para ser exacto), al menos para los estándares de hasta cuánto sabíamos contar cuando éramos pequeño.  Peor aún, una comparación entre este miserable número y, por ejemplo, el número de células que hay en su cuerpo o el número de kilómetros que hay de aquí a la Luna, dejaría a su intuición ciertamente muy mal parada en relación con lo que es capaz de hacer cuando de “entender” números en la biología o la Astronomía se trata.

Entonces, si podemos vagamente contar hasta unos cuantas decenas, es decir, si nuestro cerebro solo puede intuir profundamente números de a lo sumo dos ceros, ¿cómo podemos intentar enseñarle a alguien las verdaderas dimensiones del Universo macroscópico y microscópico?  Este es el reto que enfrentamos profesores de Astronomía y Física en todas partes en el mundo.  Creo que la mayoría de quiénes nos le medimos a ese reto desconocemos que quiénes nos están escuchando a duras penas saben contar hasta “100”.  Peor aún, nosotros mismos somos tan “anuméricos” como nuestros estudiantes, pero nuestro entrenamiento científico de años parece haber calado en nuestro “entendedero atitmético” o por lo menos nos engaña dándonos una falsa sensación de sabiduría cuantitativa.

Pero ¿se podrá entrenar el cerebro para ser mejor contando? ¿qué tipo de “trucos” o “herramientas” podríamos utilizar para mejorar la “comprensión” de cantidades físicas enormes o muy pequeñas justamente en personas sin ese entrenamiento?

Yo confiaría en que el entrenamiento puede ser un camino.  Pero tendríamos que comenzar desde pequeños.  No conozco muchos niños que cuenten con las “visceras” aunque sepan dividir por números de 3 dígitos.  Si podemos entrenarlos para hacer cosas tan poco naturales (y a veces un poco inútiles) como esta última creo que deberíamos intentarlo con la primera.

Entre los trucos existen algunas ideas interesantes.  A mi por ejemplo me gusta utilizar el dinero como modelo (soy una víctima más de la única componente cuantitativa que compartimos todos los seres humanos).  Como creo haber mostrado hasta ahora, para cualquiera 5,000 y 10,000 personas en un estadio deben ser casi lo mismo (¿o no?)  Sin embargo dudo que alguien desconozca la diferencia entre $5,000 y $10,000 (llame al símbolo ‘$’ como quiera, peso, dolar, euro)  Las diferencias monetarias se intuyen con facilidad.  Las numéricas no.  De ese modo una buena manera para hacerle entender a alguien la distancia a la Luna podría ser decirle que si un benefactor anónimo nos diera $1 por cada kilómetro que recorriéramos en un viaje en línea recta hasta allí, terminaríamos recogiendo $384,000 al final del viajecito ¿quién no se lleva las manos a la cabeza de la impresión con este dato?

Otro método que puede ser útil es tratar de reducir las cantidades que utilizamos a números tratables por nuestros “intestinos”.  Es decir en lugar de decir que Plutón esta a veces a 5,000 millones de km (en este caso ni la analogía monetaria es buena) decir que esta 40 veces más lejos que la Tierra podría echar mucha luz (¿o no?) sobre la cifra.

Una técnica muy común de sorprender con el tamaño de los números es expresarlos como una potencia de 10, es decir un 1 seguido de un cierto número de ceros (o precedido por ellos).  Así, la probabilidad de que nazca una persona con exactamente las mismas letras de tu alfabeto genético es 0.00000… 00000 1 donde hay 1,000 millones de ceros precediendo el 1.  ¿Pero es esto realmente efectivo?  En realidad muy poco.

Sobre los números representados con potencias de 10 me gusta mas una posibilidad que me planteo un amigo de biología por estos días.  Una buena manera para que una persona se “aproximará vagamente” a lo que significa por ejemplo “10 a la 80” (el número de partículas en el Universo) sería decirle que este número es 10 veces mayor que “10 a la 79”.  Si esto no sirve para preocuparlo terriblemente, al menos tendrá una manera de entender que significa esta notación.

¿Un último experimento?  Esta bien, intente estimar cuántos círculos hay en la figura 4.

Figura 4.

Figura 4.

Le sorprenderá saber que es el mismo número de la figura que abre esta entrada, es decir 5100, el número de estrellas en toda la esfera celeste con magnitud estelar menor a 6.0, la magnitud límite en un lugar muy oscuro.

No quiero cerrar esta entrada sin invitarlos a que tomen el “Test de Zuluaga” que encontrarán en el siguiente enlace.  No les quitará más de 1 minuto y me ayudarán a recabar datos sobre como anda nuestra intuición numérica por estos lados.  Cuando tenga más de 154 o 96 resultados recogidos (dá igual para mí) los haré públicos aquí mismo.

El Test de Zuluaga

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