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Porque 140 caracteres a veces no son suficientes

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¿Dónde esta la bolita?

Pi es una constante geométrica muy especial.  Aparece toda vez que un círculo, una circunferencia o una esfera asoma sus “narices” en la descripción idealizada del mundo que hacemos en un problema de física o astronomía.  Pero, ¿es Pi algo más que un número útil? o ¿es este número tan importante en el Universo de “verdad” como lo es en el Universo idealizado de las matemáticas y la geometría? Ahora que celebramos el Día de Pi más importante del siglo 21 (3/14/15,9:26:53 en formato americano), la pregunta por el verdadero lugar de pi en la descripción del universo físico vuelve a ganar actualidad.  Compilo aquí algunas leyes y relaciones físicas y astronómicas en las que el número Pi es protagonista sin que sea evidente “dónde esta la bolita”.

“El Universo es Múltiplo de Pi #PiDay2015 ”
Marzo 14 de 2015
http://bit.ly/trino-multiplo-pi

Celebrando Pi con dos amigos de Medellín: Shamadi que cumplió el 3/14 16 años y su mamá Piedad.

Celebrando Pi con dos amigos de Medellín: Shamadi que cumplió el 3/14 16 años y su mamá PI-edad (toda una familia “consagrada” a Pi).

El sábado 14 de marzo de 2015 fue una fecha muy especial para quienes gozamos con las curiosidades del fantástico número pi.  Si escribimos la fecha en el estándar americano, 3/14/15, y le agregamos una hora exacta del día, 9:26:53.589793238… el resultado, es una coincidencia que volvería loco a cualquier numerólogo: la fecha, con hora incluída, reprodujo por un brevísimo instante de tiempo la TOTALIDAD de los dígitos decimales del popular guarismo.

Para los aficionados y profesionales de las ciencias y las matemáticas que celebramos con entusiasmo la ocasión, la fecha no es más que un coincidencia sin ningún significado profundo (como parecen haberlo creído algunos), aunque si una oportunidad fantástica para hablar de matemáticas a diestra y siniestra, como no se hace normalmente el resto del año.

Como bien saben, yo soy uno de esos locos que vibra por Pi y por otros irracionales emparentados con él (lea mi entrada anterior Obsesión Irracional) y no me iba a perder tan singular celebración.  Para ello prepare y dicte una conferencia que ofrecí comenzando exactamente a la hora indicada.  Como no soy matemático, sino Físico y Astrónomo, mi enfoque para la charla fue el de intentar encontrar y mostrar a Pi escondido en el Universo.

El resultado me ha dejado a mí y creo también a quienes asistieron a la charla aquel 14 de marzo, impresionados: Pi parece estar en todas partes.

Pi en los ríos

Comencemos por los ríos.  Que aburrido sería el mundo si el camino que siguiera el agua al fluir desde las montañas hacia al mar, los lagos u otros ríos fuera completamente rectilíneo.  Por suerte el mundo es más interesante y los ríos parecen más serpientes grabadas en bajo relieve, que canales rectos fabricados por un aburrido arquitecto.

Los meandros del Río Amazonas (en esta foto un tramo en territorio peruano) también tienen relación con pi.

Los meandros del Río Amazonas (en esta foto un tramo en territorio peruano) también tienen relación con pi.

Los efectos y factores físicos que determinan la forma y longitud de los denominados “meandros” (las interminables curvas que dan los ríos) son diversos y complejos.  Aún así una propiedad numérica asombrosa emerge en medio de su serpenteante belleza.  Si se divide la longitud total de un río entre dos puntos arbitrarios (preferiblemente muy alejados uno de otro), por la distancia medida en línea recta entre esos mismos puntos, el resultado es siempre un número muy cercano a 3.   A este número se lo llama en inglés “meander ratio”.

Si el río se extiende por kilómetros y los meandros se multiplican por decenas, el valor del “meander ratio” tiende a ser igual al valor de pi.  En términos matemáticos:

Distancia recorrida por el río / Distancia en línea recta = pi

Puesto de otra manera: si en un paseo al Amazonas te toca hacer un viaje en bote entre dos pueblos muy alejados, la distancia que recorrerás por el río (o el tiempo que tardarás en recorrerlo) será aproximadamente pi veces la distancia en línea recta (medida por ejemplo sobre un mapa) entre el punto de salida y de llegada.

Pi hará tu viaje por el Amazonas mucho más emocionante.

Pi y los Péndulos

El péndulo de un reloj de péndulo tiene también a pi escondido por ahí.

El péndulo de un reloj de péndulo tiene también a pi escondido por ahí.

Receta para obtener Pi con una regla, una cuerda y un reloj.

  • Ata un objeto pesado a una cuerda larga.
  • Amarra la cuerda de un extremo de modo que el objeto quede colgando libremente.
  • Haz oscilar al objeto de modo que la amplitud no sea muy grande (15 grados o menos).
  • Mide el tiempo que le tarda al péndulo completar 5, 10 o 20 oscilaciones.
  • Divide el tiempo total por el número de oscilaciones escogidas.

Ese número, que es igual a lo que le toma al péndulo realizar una oscilación, se llama el período de oscilación.

Si se multiplica el período por sí mismo (o se eleva al cuadrado como decimos en matemáticas), se multiplica luego el resultado por la aceleración de la gravedad (un número que en casi todas partes en la Tierra vale aproximadamente 9.8 m/s/s) y se divide lo que de por la longitud total del péndulo, el resultado SIEMPRE es el mismo: 39,4784…

“¡Pero este número no tiene nada que ver con Pi!” – se quejaran la mayoría.  Pero eso es porque no conocen los parientes del guarismo.  39.4784… es nada más y nada menos que 4 veces el cuadrado de pi.

Todos los péndulos del planeta, que oscilan con una amplitud pequeña, obedecen la misma regla básica:

Período x Período x gravedad / longitud = 4 pi x pi

Pero ¿dónde esta la bolita? ¿que tiene que ver un péndulo con un círculo o una esfera?.  He ahí el punto: ¡Nada!.  Tanto este ejemplo como el anterior con los ríos serpenteantes, demuestran que Pi es una constante que trasciende su definición original para aparecer donde nadie se lo espera.

Un Pi muy salado

Hasta un inocente salero tiene a pi por millones.

Hasta un inocente salero tiene a pi por millones.

Pi esta hasta en la Sal de mesa.  Pero ¿dónde? ¿acaso los cristales de sal son esféricos o forman círculos cuando se los junta de cierta manera?. ¡Nada de eso!

A nivel microscópico la Sal de Mesa esta compuesta de una innumerable colección de átomos de Sodio y Cloro unidos por su mutua atracción eléctrica.  El átomo de Cloro, más grande y pesado que el de Sodio tiende a arrebatar al segundo su último electrón.  Con ello adquiere una carga eléctrica negativa.  El Sodio, que estaba en equilibrio eléctrico antes del “atraco”, adquiere en el proceso una carga positiva.  Una vez cargados eléctricamente los dos átomos se atraen con una fuerza minúscula para nuestros estándares pero lo suficientemente poderosa a escala microscópica como para crear los granitos de Sal que terminan en nuestros alimentos.

En los años 1700s una serie de experimentos y teorías físicas permitieron precisar la fuerza con la que las cargas eléctricas se atraen.  Pues bien, justamente esas ideas nos enseñan como pi esta metido hasta en la sopa.

Si se eleva al cuadrado la carga (que es igual) de dos iones vecinos de Cloro y Sodio en la sal y se la divide primero por la fuerza de atracción eléctrica entre ellos y luego por el cuadrado de la distancia que separa sus centros, el resultado es siempre el mismo: 4 pi.

No importa que la sal haya sido extraída de una salina en la Guajira (Colombia), una mina en Africa o se encuentre disuelta en los océanos interiores de una Luna de Júpiter, la operación anterior siempre produce el mismo resultado:

carga x carga / (Fuerza x distancia x distancia ) = 4 pi

Los conocedores del tema se quejaran de que a la anterior ecuación le falta algo, una constante de la naturaleza llamada por los expertos permitividad eléctrica del vacío.    Sin embargo, es cierto también, como reconocerán esos mismos lectores agudos, que las constantes son simples reflejos de los patrones que usamos para medir las cantidades físicas.

Si se escogen de manera adecuada los patrones para medir carga, fuerza y distancia, la permitividad eléctrica del vacío podría volverse 1 y desaparecer de la anterior relación.  Aún así, no importa los patrones usados para medir el mundo eléctrico de los iones, el 4 pi de la relación anterior seguirá ahí.

Cuantos Pi

El color de la luz de Neón es un múltiplo de pi.

El color de la luz de Neón es un múltiplo de pi.

Hay un lugar increíble donde pi también esta presente. Es el mundo microscópico de los átomos y las partículas elementales.

Lejos de los círculos y las esferas del mundo que nos rodea, allí donde las reglas de la física convencional se rompen dando paso a reglas extrañas y ajenas a nosotros, Pi deja también su huella imborrable.

Un caso notable: las propiedades de la luz emitida por los gases.

Piensen por ejemplo en el Neón de las lamparas de un aviso luminoso.  Los átomos de Neón en estas lámparas están sometidos a una continúa descarga de energía que los excita permanentemente.  Esto significa que los electrones de los átomos allí presentes, en lugar de tener la energía más pequeña que puedan, están a veces excitados y listos para la acción.

Pero a un electrón excitado no le dura mucho la dicha.  Se calcula que pasará aproximadamente una cien millonésima de segundo antes que el electrón pierda la energía de su excitación y la entregue al espacio circundante como un rayo de luz.

La energía de los rayos de luz que salen de este proceso es muy precisa: ella es igual a la diferencia entre la energía del estado excitado y la mínima energía en la que puede estar el electrón.  Los átomos de cada elemento químico en el Universo producen rayos de luz de diferentes energías permitiéndole a los científicos identificarlos por su color.

Pero no todo es color de rosa (rosa Neón).  El mundo microscópico nos tiene preparada una trampa.  Uno de las leyes más importantes de la teoría cuántica dice que no es posible conocer con absoluta precisión todas las características de un sistema microscópico (los electrones excitados en el átomo de Neón por ejemplo).  Si conocemos con precisión la energía de excitación de un electrón, no podremos saber cuando adquirió o perdió esa energía.  Al contrario, si sabemos cuándo un electrón gana o pierde una cierta energía nos será imposible precisar cuánta energía exactamente tiene o tenía.

Si nuestros cuerpos macroscópicos obedecieran las leyes de la física cuántica, y en particular este, que es conocido como el principio de incertidumbre de Heisenberg, se podría conocer el peso exacto de una persona, pero no al mismo tiempo, su edad exacta.  Y al contrario, saber la edad con precisión (por ejemplo al celebrar su cumpleaños) nos impediría determinar su peso.  Extraño, ¿no?

El principio de incertidumbre en el Neón de una lampara hace que sus electrones no emitan siempre la misma energía cuando se desexcitan.  Dado que su excitación dura un brevísimo instante de tiempo y por lo tanto sabemos más o menos cuándo ocurrió, su energía no puede conocerse con la misma precisión.

¿Y dónde esta la bolita? o al menos ¿dónde esta pi?

Si se multiplica el tiempo que dura un electrón excitado, por el rango de energías en el que emite al desexcitarse, el resultado puede ser cualquiera pero nunca menor que un número mágico: 0.159154…

Como adivinaran este guarismo esta relacionado otra vez con pi: es el inverso del doble de pi.  Lo anterior puesto en matemáticas se lee como:

Incertidumbre en la Energía x Incertidumbre en el tiempo > 1/(2 pi)

Aquí no hay círculos o esferas.  Solo las reglas extrañas y fascinantes de la teoría cuántica, que parecen estar “contaminadas” también por el misterioso pi.

De nuevo, a mis agudos lectores les advierto que en la ecuación anterior falta una “constante” de la naturaleza: la constante de Planck.  El argumento sin embargo puede ser el mismo que utilizamos para la Sal y sus átomos eléctricos.  Aún mejor: la constante de Planck podría ser absorbida por la incertidumbre en la energía para convertirla en una incertidumbre en la frecuencia (Mega hertz) de la luz emitida.  ¡Ustedes escojan!

Expansión y Pi

La expansión del Universo también esta emparentada con pi.

La expansión del Universo también esta emparentada con pi.

Si los ejemplos anteriores no los han convencido de que Pi es algo más que círculos y esferas, he aquí un ejemplo para irse para atrás:  la expansión del Universo sería un múltiplo de Pi.

El fenómeno de la expansión del Universo fue descubierto en los años 20 por un Astrónomo Belga, George Lemaitre e independientemente por el que se llevo todo el crédito, Edwin Hubble.

Según la teoría de Einstein de la gravedad (la única capaz de explicar satisfactoriamente el fenómeno) el espacio entre las galaxias gana cada segundo kilómetros nuevos.  Las galaxias embebidas en esa red de carreteras que se ensancha, no necesitan moverse un ápice para que todos los días sus distancias mutuas aumenten.

Al ritmo al que se crea nuevo espacio en el Universo se lo llama Constante de Hubble (y en realidad no es constante y técnicamente tampoco sería de Hubble por las razones históricas previamente esbozadas).  Su valor actual ronda los 68 km/s/Mpc.  En “cristiano” esto significa que entre dos galaxias situadas una de otra a ~3 millones de años luz (1 Mpc) se crean 68 km cada segundo.  No parece nada para las enormes distancias que las separan, pero si se multiplica ese número por el número de segundos que ha vivido el Universo, el efecto se vuelve realmente notorio.

¿Dónde entra pi?

Según la teoría de la gravedad de Einstein el ritmo de expansión se relaciona con la cantidad de masa y energía que hay en el Universo.   A mayor masa, mayor será también el ritmo de expansión.  Pues bien si se divide el cuadrado de la constante de Hubble por la densidad total de masa y energía del Universo actual el resultado es un solo número: 8.37758…  Siguiendo la tradición de esta entrada, adivinaran que este número es pariente de pi.  En realidad su valor es igual a 8 pi /3.

En términos matemáticos:

Constante de Hubble x Constante de Hubble / Densidad de materia-energía = 8 pi / 3

Otra vez: ¿dónde esta la bolita?.  No hay ninguna esfera o círculo implicado en esta ecuación.  Lo único que tenemos son las reglas de la gravedad tal y como las describió Einstein en 1905 y que incorporan de manera natural el número pi.

Espero que quiénes hayan sobrevivido leyendo hasta este punto tengan ahora claro que pi es algo más que la razón entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia.

A decir verdad el bendito numerito aparece con más frecuencia en las leyes de la física de lo que uno podría esperar.  Propiedades que uno pensaría no tendrían nada que ver con un círculo o una esfera, tales como el número y tamaño de las curvas de un río, la atracción entre dos átomos cargados o la edad del Universo, parecen misteriosamente emparentados con pi.

El Universo, tal parece, es un múltiplo de pi.

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Números, La Secuela

He comprobado lo que sospechaba: los seres humanos somos tan malos para “contar” que difícilmente creo que alguien entienda de verdad lo que dice cuando afirma con la boca llena que la Tierra tiene 40,000 km de perímetro o que hay 1,000 millones de neuronas.  La aplicación de un sencillo test muestra que cerca del 80% de los adultos no son capaces de adivinar cuántas cosas hay en un lugar si su número supera una cifra cercana a 100.

“Resultados del Test de Zuluaga: los adultos difícilmente sabemos “contar” hasta más de 100 http://bit.ly/resultados-test-zuluaga
Febrero 20 de 2014
http://bit.ly/trino-test-zuluaga-resultados

segment4-normalized-2-0_100En una entrada pasada (léala aquí, “Números“) discutía un hecho difícil de obviar.  Los humanos somos malos con los números.  Y no me refiero a que no sepamos nombrarlos o a que sepamos hacer operaciones sofisticadas con ellos.  Me refiero a que nuestra intuición tiene de todo menos de numérica.  Si nos pusieran como conferencistas delante de un auditorio con 500 personas, 1 de cada 2 aseguraría que hay menos de 200 y lo que es peor 1 de cada 20 podrían decir que hay casi 1,000.

Para comprobar esto diseñe un sencillo test.  Los que no lo han probado todavía los invito a hacerlo antes de leer esta entrada.  No les tomará más de 1 minuto.  No hay que pensar mucho y ni siquiera tendrán realmente que contar uno a uno los objetos.  Solo “contar” con las visceras.  El test lo pueden encontrar aquí: El Test de Zuluaga.

En el test le presente a más de 250 voluntarios, 5 imágenes con símbolos de colores del mismo tamaño regados en un área cuadrada.  En algunos casos los símbolos estaban regados al azar y en otros se encontraban organizados en filas y columnas.  El número de símbolos en las imágenes variaba en rangos controlados.  Para este experimento escogí 4 rangos: 10 a 30 objetos, 30 a 100, 100 a 500 y más de 500 (de 500 a 2000).  Por supuesto el conejillo de indias nunca sabía en que rango estaba (y los que lean esto y no han presentado el test por supuesto ya lo sabrán de modo que sus resultados tendrán seguramente un sesgo)

¿Por qué esos rangos?  Primero, porque intuía que hasta más o menos 30 cuerpos nuestra habilidad para “contar” es normalmente buena (hice unos experimentos sencillos con mis conejillos de india favoritos, mis hijos y esposa); menos de 10 es trivial hasta para un niño (miren este test tan bonito que me hizo conocer @cedec1).  Entre 30 y 100 empiezan las dificultades pero todavía la gente puede lograr algo decente.  Más de 100, difícil, pense.  Y miles, casi imposible.  En síntesis: los rangos se basaron justamente en mis propias intuiciones numéricas… ¡nada muy confiable!

¿Cuáles fueron los resultados?  Un reporte gráfico detallado con los resultados hasta la fecha en la que escribo esta entrada, 20 de febrero de 2014, lo pueden encontrar en la página http://bit.ly/resultados-test-zuluaga.  Saquen ustedes mismos sus conclusiones.  Yo les presento aquí las mías.

252 personas participaron del experimento, un 65% hombres y otro 35% mujeres (¡no entiendo por qué la asimetría!)  Las edades oscilaron entre los 16 y los 68 años (¡vaya rango!)  La edad de la mayoría oscilaba entre los 20 y los 25 años, tratándose principalmente de estudiantes universitarios (60%)  No faltaron los chistosos que en lugar de responder con números al test, respondieron con las palabras “millones” o “muchos” o los que nunca quisieron entregar su edad, sexo o educación.  Ninguno de ellos fue tenido en el análisis final.

Para analizar las respuestas compare, por cada segmento (entre 10 y 30, 30 y 100, etc.) la respuesta provista por las personas y el valor correcto del número de cuerpos en las imágenes.  Así, si una imagen tenía 100 círculos y la respuesta era de 80, calcule la diferencia (-20); para ser justos con rangos mayores (por ejemplo en el rango mayor a 500 un error de 20 es poco), dividí este resultado por el valor real.  Así el -20 del ejemplo anterior se convirtió en -0.2 o -20%.  En otras palabras una persona que dijo que habían 80 puntos en una gráfica de 100 obtuvo un puntaje de -20%.  A continuación conte el número de respuestas en intervalos de puntaje: de -100% a -90%, de -90% a -80% y así sucesivamente.  En estadística llamamos a eso construir un histograma de los datos.  En la figura a continuación les muestro por ejemplo los histogramas de puntajes para el rango de 30 a 100 objetos.

Puntaje del test para entre 30 y 100 puntos distribuídos al azar.

Puntaje del test para entre 30 y 100 puntos distribuídos al azar.

Puntaje del test para entre 30 y 100 puntos distribuídos por filas y columnas.

Puntaje del test para entre 30 y 100 puntos distribuídos por filas y columnas.

Como se ve allí, tan solo un 14% de las personas le atinaron al número de puntos (equivocándose solo por unas pocas unidades, ej. 43 en lugar de 45).  Esto en el caso en el que los puntos aparecieron regados al azar.  Sin embargo cuando los puntos estaban organizados el número de aciertos se duplico a un 28%.  Podría decirse que los adultos somos buenos para contar objetos organizados.  Sin embargo, también es posible interpretar este resultado diciendo que muchos hicieron “trampa” y contaron consciente o inconscientemente el número de filas y columnas (que a lo sumo eran 10 en este caso)  Bueno, trampa es una palabra muy fuerte.  Digamos que fueron recursivos a pesar de que las instrucciones claramente decían que no lo fueran “cuente sin contar”.

Es significativo notar como en el caso de los números regados al azar, hubo 3 veces más personas que “contaron” un número menor de puntos que el que realmente había (asimetría que no se presento notablemente cuando los puntos estaban organizados). 62% de las personas creyeron que habían menos puntos, frente a 24% que creyeron que habían mas.  Es decir, una vez nuestro cerebro deja de contar bien, subestimamos el número de cosas que vemos.

Pero 30 o 100 objetos es demasiado para nuestro “centro del conteo” en el cerebro.  Creería uno que a la gente le va mejor con menos de 30 cosas.  Sin embargo los resultados no parecen ser tampoco alentadores en ese caso.  En las figuras a continuación mostramos la distribución de puntajes en este rango para dos grupos de edades diferentes: menos de 25 años y más de 25 años.

Resultados para mayores  de 25 años cuando tienen que contar menos de 30 cosas.

Resultados para mayores de 25 años cuando tienen que contar menos de 30 cosas.

Resultados para menores de 25 años cuando tienen que contar menos de 30 cosas.

Resultados para menores de 25 años cuando tienen que contar menos de 30 cosas.

Si bien el puntaje en el rango de 10 a 30 es mas alto que en el rango de 30 a 100 (pasamos de 14% de aciertos a 25% de aciertos) esto es debido principalmente a personas mayores de 25 años.   Los menores solo obtuvieron un modesto 15% de aciertos y en su mayoría sobre estimaron el número.  Si bien no hay muchos datos para crear una “ley de números pequeños para pipiolos” podría decirse (irresponsablemente) que los jóvenes tienden a ver más objetos de los que realmente hay, sobre todo cuando hay un puñado de cosas.

Los resultados más tristes indudablemente son los que se obtienen cuando queremos “contar” más de 500 cosas.   Para resaltar lo mal que nos va, diseñe otro tipo de gráfico.  Para hacerlo calcule el puntaje de acierto, pero en lugar de poner -20% a alguien que dijerá 80 cuando hay 100, le asigne simplemente 20% (positivo)  Este puntaje entonces solo mide que tanto nos equivocamos, pero no reconoce si nos equivocamos por lo bajo o por lo alto.

Para representar los resultados de este “puntaje absoluto”, tampoco use un histograma normal.  En su lugar conté cuántas personas obtenían un valor mayor a un determinado puntaje, cuántos obtuvieron mas de 5%, mas de 10%, mas de 20%, etc.  Por supuesto el número de personas que obtuvieron un puntaje de más del 5% es mayor que los que obtuvieron más del 20% (los primeros incluyen a los segundos)  En estadística llamamos a esto el “histograma acumulado”.  En la siguiente figura muestro los histogramas acumulados para los rangos de 30 a 100 y de 500 en adelante.

Histograma acumulado de los puntajes en el rango de 30 a 100 (distribuidos aleatoriamente)

Histograma acumulado de los puntajes en el rango de 30 a 100 (distribuidos aleatoriamente)

Histograma acumulado en el rango de más de 500.

Histograma acumulado en el rango de más de 500.

Como se ve claramente allí, cuando nos piden contar cientos de cosas, quedamos completamente perdidos.  Mientras que un 89% de las personas que se les pidió “contar” entre 30 y 100 cosas, se equivocan por la mitad de ese número (es decir si les muestran 100 objetos 9 de 10 creerán que hay entre 50 y 100 o entre 100 y 150) cuando hay más de 500 objetos, más de la mitad creen que hay un número mayor o menor que el número real por más de un 50%.  Es decir 1 de cada 2 personas cuando se las pone frente a 1,000 objetos creerán que hay más de 1,500 o menos de 500.  ¡Vaya error!

Pero eso no es todo.  Al parecer con grandes números los adultos tendemos ver menos objetos de los que realmente hay.   Miren la tendencia en los gráficos abajo:

Resultados para menores de 25 años cuando tienen que contar menos de 30 cosas.

Resultados para menores de 25 años cuando tienen que contar menos de 30 cosas.

Puntaje del test para entre 30 y 100 puntos distribuídos al azar.

Puntaje del test para entre 30 y 100 puntos distribuídos al azar.

Resultados para el rango de 100 a 500.

Resultados para el rango de 100 a 500.

Resultados para la distribución de puntajes cuando hay más de 500 objetos

Resultados para la distribución de puntajes cuando hay más de 500 objetos

Se ve como el pico del puntaje se va corriendo significativamente a la izquierda (puntajes negativos) a medida que aumenta el número de objetos.

Un detalle curioso que se ve en la última figura de la serie anterior.  Dado que los puntos en las imagenes que tenían más de 500 objetos estaban organizados por filas y columnas, un número anormalmente para la tendencia de la figura, acerto (obtuvo un puntaje del 0%)  Esto  una de dos cosas: o bien muchos hicieron trampa y contaron filas y columnas o de nuevo parece que en promedio a los adultos nos va bien con el orden.

¿Y las diferencia entre hombres y mujeres?  No es muy notoria realmente.  Tal vez lo único que pude notar fue que las damas que respondieron el test en el rango entre 30 y 100 sobre ,estimaron con más frecuencia el número de objetos.  ¿Será este un signo de la tendencia femenina a sobre dimensionar las cosas?  ¡Definitivamente no! En otros rangos sus respuestas fueron muy similares a las de los hombres.

La conclusión definitiva para mí es que los adultos tendemos a fallar significativamente en nuestra apreciación intuitiva de la cantidad de cosas que hay en un lugar, cuando esa cantidad es de algunos centenares.  Estando la ciencia “poblada” de números que normalmente superan con creces esta cifra deberíamos preguntarnos si no hace falta que eduquemos mejor a los niños para intuir números cada vez más grandes.

Tal vez algunos opinen que no hace falta: contar solo es importante cuando uno tiene vacas o gallinas (que normalmente son menos que 100)  Pero la realidad es otra.  Cuando les consultaron a los ingenieros del Challenger cuál era la probabilidad de que el transbordador fallara dijeron que era 1 en 100,000; Richard Feynman, que tuvimos la suerte fuera uno de los investigadores, demostró que en realidad era 1 en 300.  ¿Sabe la gente realmente la INCREÍBLE, ABISMAL y FANTÁSTICA diferencia entre 100,000 y 300?  Yo creo que no.

Coda.  Agradezco a todos los amigos que me ayudaron a divulgar la entrada del blog en la que propuse esta reflexión y que fue el origen del Test de Zuluaga.  Gracias a sus retweets pude conseguir 250 incautos para el test.  Reconocerán a estos amigos por sus cuentas en twitter @PlanetarioMed, @emulenews, @ramirociencia, @blogmentes, @CDEC1.  Naturalmente también agradezco a los que sirvieron de conejillos de india.  Incluyendo los “tramposos”.

Advertencia final.  Esta entrada de blog carece del rigor de un artículo científico.  Sus métodos pueden ser considerados por investigadores realmente serios, bastante dudosos o mal fundamentados.  No use sus resultados como base de un trabajo más serio.  Mi único propósito aquí era divertirme investigando estas cosas y responder una pregunta que tenía desde hacía mucho tiempo.  Sin embargo si el trabajo llega a inspirar a alguien para hacer algo serio y bien fundamentado ¡no olvide enviarme una copia y una postal!

A los que preguntan… cómo hice esto en un par de días, es decir, inventarme un test, crear una página web para aplicarlo y después construir los histogramas arriba mostrados, les respondo fácilmente: suscríbanse a mi canal en YouTube “#PUM Prográmelo Usted Mismo” y siga mi blog con el mismo nombre.  Allí encontrarán cómo programar cosas como esta y otras aún más inútiles.  Todo lo que hice aquí lo programe en Python y PHP.

Números

¿Cuál es el número de estrellas que se ven en el cielo en una noche oscura? La formulación de esta pregunta elemental entre amigos, familiares o desconocidos puede encontrar respuestas de una diversidad numérica increíble.  Desde los que dicen que hay unos cientos hasta aquellos que han “contado” millones.  Nuestras intuiciones numéricas son increíblemente limitadas y aún así nos esforzamos por entender las dimensiones del Universo macroscópico y microscópico.

“La Astronomía es la mejor manera de probar que no intuimos muy bien los números. Solo oyendo la masa del Sol deberíamos sufrir un infarto
Febrero 14 de 2014
http://bit.ly/trino-numeros

puntos1¿Se sorprendería usted de saber que en la imagen que acompaña esta entrada hay un número de estrellas igual que las que se pueden ver en la totalidad del firmamento (incluyendo las que vemos por encima del horizonte y las que no vemos por debajo del horizonte)? Si lo hace, siéntase orgulloso: usted es un digno representante del género humano.

Cuándo estamos pequeños era común escuchar la pregunta “¿hasta cuándo sabes contar?”  Nos llenábamos la boca diciendo que contábamos primero hasta 100, luego hasta 1,000 y en el mejor de los casos hasta 1’000,000.   Al crecer, muy pronto descubrimos que contar es en realidad una habilidad medio tonta.  Recordar unas reglas bastante elementales para crear palabras aburridas que no son más que combinaciones de unos cuantos vocablos sencillos.

La verdadera habilidad para “contar” nunca la enseñan en la escuela.  A pesar de que aprendemos labores “computacionalmente” más complejas como patear un balón, saltar una cuerda o cantar un himno de 20 estrofas, nadie nos entrena para decir en pocos segundos cuántos objetos vemos en una multitud.  Me pregunto si incluso esta habilidad será entrenable.  Yo diría que sí.  He pensado comenzar un experimento incluso con Sofía mi princesa de 8 años.

¿Hasta cuánto sabe entonces contar un adulto normal? ¿10?, ¿100?, ¿1000?  Yo creo que todos nos sorprenderíamos al saber que en realidad es muy poco.  Para probarlo hagamos un sencillo experimento.  ¿podría usted decir (sin contar una a una) cuántas estrellas hay en la figura 2?

Figura 2.

Figura 2.

¿Quiere saber la respuesta? ¡Pues cuéntelas!

Juraría que le atino con un error inferior a unas 3 estrellas.  Para un número de objetos relativamente pequeño estimar la cantidad parece una tarea bastante natural.  Incluso personas con poca formación científica o cultura matemática serán tan buenas como otras acostumbradas a “calcular” cosas muy sofisticadas.   He probado con niños y parece que la habilidad de “adivinar” el número de un puñado de cosas esta programado en nuestros genes.

Pero, ¿cuánto es un puñado de cosas? ¿hasta donde llega nuestra capacidad de acertar con precisión? Intente con el ejemplo en la Figura 3.

Figura 3a.

Figura 3a.

Figura 3b.

Figura 3b.

¿Que tal ahora? ¿le sorprendería saber que hay el mismo número de triángulos tanto en la figura 3a como en la 3b? Cuéntelas y verifique su grado de acierto.  Tal vez no este muy sorprendido con el hecho de que ambos recuadros tengan el mismo número, pero sí con el nivel de desacierto en comparación con el resultado de la figura 2.  Si no es ese el caso, intente preguntarle a alguien más cuántos triángulos ve y se convencerá de que en estas figuras ya no hay un “puñado” de triángulos y que la mayoría errará por mucho más que el 30% de los objetos que hay allí.

Lo más sorprendente es que el número de cosas que hay en el gráfico anterior es bastante pequeño (169 para ser exacto), al menos para los estándares de hasta cuánto sabíamos contar cuando éramos pequeño.  Peor aún, una comparación entre este miserable número y, por ejemplo, el número de células que hay en su cuerpo o el número de kilómetros que hay de aquí a la Luna, dejaría a su intuición ciertamente muy mal parada en relación con lo que es capaz de hacer cuando de “entender” números en la biología o la Astronomía se trata.

Entonces, si podemos vagamente contar hasta unos cuantas decenas, es decir, si nuestro cerebro solo puede intuir profundamente números de a lo sumo dos ceros, ¿cómo podemos intentar enseñarle a alguien las verdaderas dimensiones del Universo macroscópico y microscópico?  Este es el reto que enfrentamos profesores de Astronomía y Física en todas partes en el mundo.  Creo que la mayoría de quiénes nos le medimos a ese reto desconocemos que quiénes nos están escuchando a duras penas saben contar hasta “100”.  Peor aún, nosotros mismos somos tan “anuméricos” como nuestros estudiantes, pero nuestro entrenamiento científico de años parece haber calado en nuestro “entendedero atitmético” o por lo menos nos engaña dándonos una falsa sensación de sabiduría cuantitativa.

Pero ¿se podrá entrenar el cerebro para ser mejor contando? ¿qué tipo de “trucos” o “herramientas” podríamos utilizar para mejorar la “comprensión” de cantidades físicas enormes o muy pequeñas justamente en personas sin ese entrenamiento?

Yo confiaría en que el entrenamiento puede ser un camino.  Pero tendríamos que comenzar desde pequeños.  No conozco muchos niños que cuenten con las “visceras” aunque sepan dividir por números de 3 dígitos.  Si podemos entrenarlos para hacer cosas tan poco naturales (y a veces un poco inútiles) como esta última creo que deberíamos intentarlo con la primera.

Entre los trucos existen algunas ideas interesantes.  A mi por ejemplo me gusta utilizar el dinero como modelo (soy una víctima más de la única componente cuantitativa que compartimos todos los seres humanos).  Como creo haber mostrado hasta ahora, para cualquiera 5,000 y 10,000 personas en un estadio deben ser casi lo mismo (¿o no?)  Sin embargo dudo que alguien desconozca la diferencia entre $5,000 y $10,000 (llame al símbolo ‘$’ como quiera, peso, dolar, euro)  Las diferencias monetarias se intuyen con facilidad.  Las numéricas no.  De ese modo una buena manera para hacerle entender a alguien la distancia a la Luna podría ser decirle que si un benefactor anónimo nos diera $1 por cada kilómetro que recorriéramos en un viaje en línea recta hasta allí, terminaríamos recogiendo $384,000 al final del viajecito ¿quién no se lleva las manos a la cabeza de la impresión con este dato?

Otro método que puede ser útil es tratar de reducir las cantidades que utilizamos a números tratables por nuestros “intestinos”.  Es decir en lugar de decir que Plutón esta a veces a 5,000 millones de km (en este caso ni la analogía monetaria es buena) decir que esta 40 veces más lejos que la Tierra podría echar mucha luz (¿o no?) sobre la cifra.

Una técnica muy común de sorprender con el tamaño de los números es expresarlos como una potencia de 10, es decir un 1 seguido de un cierto número de ceros (o precedido por ellos).  Así, la probabilidad de que nazca una persona con exactamente las mismas letras de tu alfabeto genético es 0.00000… 00000 1 donde hay 1,000 millones de ceros precediendo el 1.  ¿Pero es esto realmente efectivo?  En realidad muy poco.

Sobre los números representados con potencias de 10 me gusta mas una posibilidad que me planteo un amigo de biología por estos días.  Una buena manera para que una persona se “aproximará vagamente” a lo que significa por ejemplo “10 a la 80” (el número de partículas en el Universo) sería decirle que este número es 10 veces mayor que “10 a la 79”.  Si esto no sirve para preocuparlo terriblemente, al menos tendrá una manera de entender que significa esta notación.

¿Un último experimento?  Esta bien, intente estimar cuántos círculos hay en la figura 4.

Figura 4.

Figura 4.

Le sorprenderá saber que es el mismo número de la figura que abre esta entrada, es decir 5100, el número de estrellas en toda la esfera celeste con magnitud estelar menor a 6.0, la magnitud límite en un lugar muy oscuro.

No quiero cerrar esta entrada sin invitarlos a que tomen el “Test de Zuluaga” que encontrarán en el siguiente enlace.  No les quitará más de 1 minuto y me ayudarán a recabar datos sobre como anda nuestra intuición numérica por estos lados.  Cuando tenga más de 154 o 96 resultados recogidos (dá igual para mí) los haré públicos aquí mismo.

El Test de Zuluaga

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