Cronología de un Milagro
Última actualización de la cronología: Hechos de Noviembre 25 de 1915.
Próximos eventos: Epílogo.
Eventos anteriores: Antecedentes, Noviembre 4, Noviembre 7, Noviembre 10, Noviembre 11, Noviembre 13, Noviembre 15, Noviembre 18, Noviembre 20, Noviembre 25.
El mes de noviembre de 1915 salió «cocinada» de la cabeza de Einstein la versión final de la Teoría General de la Relatividad. El evento creativo esta hermosamente ilustrada en esta composición realizada por Peter Reference, (Hulton Archive / Getty Images). Tomado de: http://bit.ly/1LRrjE9
Se cumplen este mes 100 años de la Teoría de la Relatividad General, una de las más hermosas y poderosas teorías científicas jamás creadas por el hombre. «La joya más preciosa de la Física Fundamental» como diría Lorenzo de la Torre.
Su autor único, Albert Einstein. Físico nacionalizado Estadoudinense, de origen Alemán y familia judía. Uno de los más profundos «intuidores» (no solo pensadores) que ha dado la humanidad.
En un arrebato creativo, que siguió a su Anno Mirabilis 1905, cuando resolvió 4 de los más importantes problemas de la Física, Einstein se enfrasco por casi 10 años en develar el secreto mejor guardado del Universo: ¿qué es la gravedad?. Un secreto que la naturaleza no quiso entregar a su más importante antecesor, Isaac Newton, un genio matemático sin paralelo que entendió cómo funcionaba la gravedad pero siempre lamento no saber qué era exactamente el endemoniado fenómeno.
La forma final de la Relatividad General, una teoría universal sobre el espacio-tiempo y como la materia lo modifica y es modificada por él, fue creada (¿o descubierta?) por Einstein en las semanas anteriores a su presentación oficial ante la Academia Prusiana de las Ciencias el 25 de Noviembre de 1915. Un fantástico período que el Profesor Regino Martínez ha propuesto llamar el Mensis Mirabilis.
Einstein, a través de sus cartas y su «sketch» autobiográfico, además de sus numerosos biógrafos, que han seguido la pista de sus actividades científicas y personales por aquellos días, nos permiten hoy reconstruir los eventos precisos que condujeron al nacimiento mismo de esta «joya».
Quiero ofrecerles en este espacio, un recuento día a día (en la medida de lo posible) de la génesis de la Relatividad General (en su forma definitiva), durante aquel importante Noviembre de hace 1 siglo.
Naturalmente los hechos relatados aquí no son producto de mi propia investigación histórica (no soy un historiador de la ciencia, lamentablemente). Mis fuentes están plenamente descritas al final y el lector más curioso podrá indagar en ellas los detalles que no encuentre aquí. Lo mío es simplemente la traducción a un lenguaje tal vez más accesible de lo que esta regado por todas esas fuentes; y lo mejor, en Español, la lengua que hablamos 560 millones de habitantes en el planeta.
Cronología
Lista de Eventos: Antecedentes, Noviembre 4, Noviembre 7, Noviembre 8, Noviembre 10, Noviembre 11, Noviembre 12, Noviembre 13, Noviembre 15, Noviembre 18, Noviembre 19, Noviembre 20, Noviembre 25.
El principio de equivalencia es la idea fundacional de la Relatividad general. Establece que la gravedad y la aceleración son fundamentalmente equivalentes (Tomado de: http://www.descsite.nl/Gravity_us.htm)
La historia de la Relatividad General comenzó con la formulación en 1907 del denominado Principio de Equivalencia, llamado por el mismo Einstein «el pensamiento más feliz de mi vida». El principio establece (en palabras muy sencillas) que si los efectos de la gravedad pueden «borrarse» en un ascensor en caída libre (acelerado), la gravedad y la «aceleración» deberían ser fenómenos «equivalentes».
Desde aquella fecha y hasta noviembre de 1915, Einstein trabajo incansablemente en el desarrollo de una teoría de la gravedad sobre las mismas líneas en las que había creado su teoría especial de la relatividad, es decir una en la cuál los fenómenos naturales podían describirse y explicarse correctamente solo si lo hacíamos en el contexto de un espacio de 4 dimensiones, el espacio-tiempo. La gravedad no debería ser la excepción.
Entre 1907 y 1915 se dieron los eventos trascendentales que condujeron finalmente al desarrollo de la Relatividad General y la presentación en su forma final aquel Noviembre 25 de 1915. Sería difícil describir todo lo que pasó en los años previos, pero resumo aquí algunos eventos claves sin los cuáles la cronología de ese Noviembre de 1915 sería difícil de entender.
Entre Febrero y Marzo de 1912 Einstein escribió un par de papers describiendo sus primeros intentos por formular una teoría espacio-temporal de la gravedad. En estos papers proponía que la clave de la descripción del fenómeno gravitacional estaba en suponer que la velocidad de la luz en presencia de la gravedad variaba de punto a punto. Siendo la velocidad de la luz un elemento central de su teoría de la Relatividad Especial, razonaba Einstein, ella debería servir como una base sólida para la formulación de una teoría de la gravedad relativista. Lamentablemente (o afortunadamente en perspectiva) no lo sería.
En Marzo de 1912 Einstein, en uno de esos eventos que la historia deberá recordar por siempre, reconoció finalmente la importancia de describir las propiedades geométricas del Espacio-Tiempo en presencia de la gravedad, usando para ello una abstracción geométrica conocida como la métrica.
La métrica o el «elemento de línea», es una regla matemática que dice como calcular la distancia ente puntos del espacio tiempo muy cercanos. El conocido teorema de pitagoras es una versión común de la métrica del espacio plano sobre el que dibujamos triángulos y círculos.
La importancia de la métrica y otras abstracciones geométricas en la Relatividad Especial había sido ya demostrada por Herman Minkowski, quien usando estas abstracciones había escrito una versión formal de la Relatividad Especial. Einstein reconocería posteriormente la importancia que el trabajo de Minkowski tendría en general para el establecimiento definitivo de la Teoría de la Relatividad y en particular para la formulación final de la Relatividad General.
Con métrica en mano y con la idea de que la intensidad de la gravedad estaba medida por esta abstracción matemática (una idea que esta en el corazón mismo de la Relatividad General) Einstein se dio cuenta que iba a necesitar desarrollar sus ideas sobre bases matemáticas mucho más sofisticadas que las que había usado para su teoría especial de la relatividad. Por ello apelo a su buen amigo Marcel Grossmann, matemático y compañero de Universidad y otras andanzas intelectuales. «Grossmann, me tienes que ayudar o me volveré loco», le dijo Einstein literalmente a Grossmann en la primavera de 1912.
Marcel Grossmann y Albert Einstein durante los tiempos en los que estudiaban juntos
Grossmann encontró fascinante el problema y se embarco en una búsqueda exhaustiva de la literatura matemática de los trabajos que pudieran servir para construir una base formal a las intuiciones de Einstein. No le tomo mucho tiempo encontrarlos (tan solo un día según los relatos del mismo Einstein).
Las bases matemáticas que necesitaba Einstein habían sido desarrolladas a partir de las ideas de Gauss sobre las superficies curvas, por Matemáticos tales como Riemann, Christoffel, Ricci y Levi-Vivita (pupilo de Ricci y quién todavía vivo en los tiempos de Einstein). Einstein y Grossman se paraban, como lo había hecho Newton más de 2 siglos atrás, sobre hombros de gigantes… pero esta vez de gigantes matemáticos.
Las impresiones de Einstein sobre la necesidad de las matemáticas para desarrollar su teoría general de la relatividad quedaron expresadas en esta frase que escribió en Octubre de 1912: «[A través de este trabajo] le he ganado mucho respeto a las matemáticas, que antes consideraba ¡solo un lujo!». Y agrega: «comparado con [el problema de la gravedad] la relatividad especial es infantil».
A este punto todo el desarrollo de la teoría geométrica de la gravedad (o la Relatividad General como terminó por llamarse) se reducía a un solo problema: ¿existen ecuaciones que al solucionarlas den el valor de la métrica que describe el espacio-tiempo en presencia de un cuerpo con masa? ¿cuáles son esas ecuaciones? ¿son esas ecuaciones las mismas sin importar el observador?.
Esta última es una condición muy importante en la relatividad. Se la llama principio de covarianza y consiste, en palabras llanas, en la idea de que cualquier enunciado (matemático) de una ley física debe ser verdadero sin importar el punto de vista. Las ecuaciones que debía satisfacer la métrica, si quisiéramos que fueran las verdaderas ecuaciones de la gravedad, tendrían que ser covariantes.
La búsqueda de Einstein de los 3 años subsiguientes se redujo casi exclusivamente a encontrar ese conjunto de ecuaciones. Nadie imaginó en ese entonces lo difícil que sería la búsqueda. El mismo Max Planck intentaría desanimar a Einstein cuando en una oportunidad le dijo «Como un viejo amigo debo aconsejarte en contra [de continuar este proyecto] primero porque no vas a lograrlo; y segundo porque incluso si lo logras nadie te va a creer«. Su hallazgo final el 25 de noviembre de 1915 contradiría el consejo bienintencionado de Planck y es justamente el milagro al que se refiere este relato.
A finales de Junio de 1913 Einstein y Grossmann publicaron los resultados de su búsqueda: una teoría «preliminar», el «borrador» (Entwurf en alemán) de un modelo geométrico de la gravedad. A esta teoría se la conoce en retrospectiva como la teoría de Einstein-Grossmann y corresponde al embrión de la que sería finalmente la Teoría General de la Relatividad.
Einstein sin embargo no reconocería después ninguna contribución fundamental de Grossmann en la concepción de su embrión, o por lo menos no más allá de aquella de haber sido simplemente una guía en la exploración de la literatura matemática. Injusto o no, esto descartaría también cualquier responsabilidad de Grossmann en los defectos de esta versión embrionaria de la teoría.
Einstein entre los miembros de la Academia Prusiana de las Ciencias en 1931. A todas luces se ve que es uno de los miembros más jóvenes.
Casi simultáneamente con la publicación del artículo de Einstein y Grossmann, Planck y otros colegas proponían a Einstein como miembro (el más joven) de la prestigiosa Academia Prusiana de las Ciencias. En su presentación Planck señalaba que «En el momento [Eintein] trabaja intensamente en una nueva teoría de la Gravedad; teoría que solo el futuro dirá si tiene éxito». ¡Y sí que lo hizo!. Después de esta recomendación Einstein consiguió convertirse en miembro de la Academia. 3 años más tarde frente a este selecto grupo de físicos presentaría el resultado final de su búsqueda.
Como hemos señalado, la teoría «embrionaria» de 1913 (que después fue descrita en detalle en un artículo de Revisión, uno de los más importantes de esta historia, escrito por Einstein como único autor en Octubre de 1914) tenía defectos muy serios. Si bien ya contenía la mayor parte de los elementos formales que hoy conocemos de la teoría, la ecuación de la geodésicas (las líneas extremas entre puntos que se mueven en el espacio-tiempo sin que sobre ellos actúe ninguna fuerza), el uso generalizado de los tensores, el tensor de momento-energía, etc., las ecuaciones de la gravedad resultantes no eran covariantes. El dogma más importante de la relatividad no era satisfecho por las ecuaciones desarrolladas por su propio padre.
Más importante aún: la realidad que las ecuaciones de la gravedad de su teoría embrionaria describía no se ajustaba a la realidad que observaban los astrónomos. Eso lo noto cuando intento por primera vez aplicar su nueva teoría de la gravedad a un fenómeno real: el movimiento anómalo de Mercurio. Esto lo conseguiría a finales de 1913 con la valiosa ayuda de su otro viejo amigo, Michele Besso.
Avance del perihelio de Mercurio (no a escala) uno de los fenómenos que tenía que ser explicado con la nueva teoría gravitatoria.
Desde mediados los 1800 los astrónomos habían notado que Mercurio no regresaba al mismo punto en su órbita después de completar una vuelta. Después de tomar en cuenta los efectos perturbadores de todos los planetas del Sistema Solar se lograba explicar el 90% de la magnitud del desfase. Aún así quedaba un pequeño remanente inexplicable con la teoría Newtoniana. La magnitud de este desfase remanente sumaba un total de 43 segundos de arco acumulados después de un siglo de vueltas de Mercurio alrededor del Sol.
Con la ayuda de Besso, Einstein hizo el trabajo equivalente al que habría hecho Newton a finales de los 1600; cálculo las propiedades de las órbitas de los planetas en el espacio-tiempo curvo alrededor del Sol (según su teoría) deduciendo las que serían las nuevas leyes de Kepler. Como era de esperarse, encontró que su teoría podría explicar el desfase que la teoría de Newton no podía. ¡Gran avance!. El único problema era que la magnitud del desfase derivado por su teoría embrionaria era casi una tercera parte del observado por los astrónomos.
Peor aún: mientras trabajaba en este problema Einstein notó un defecto en su «embrión». Recordemos que el principio de equivalencia establece que los efectos de la gravedad sobre el espacio-tiempo son los mismos que los de la aceleración. Si esto es así entonces las ecuaciones de la gravedad de su teoría embrionaria deberían describir los efectos físicos que ocurren cuando hay aceleraciones. Pues bien, al estudiar el movimiento de Mercurio desde la perspectiva de un observador que rota alrededor del Sol con el mismo período del planeta, noto que las propiedades del espacio-tiempo de ese observador rotante y acelerado, no satisfacían las ecuaciones de su «embrión» teórico.
Einstein con la ayuda de sus amigos Grossmann y Besso había desarrollado e intentado probar una elegante y muy novedosa teoría que sin embargo a todas luces violaba dos principios fundacionales de la relatividad: el principio de covarianza y el de equivalencia.
Reconocer este error seria justamente lo que llevó a Einstein al proyecto intelectual que se desarrollo en las 3 semanas que transcurrieron entre el 4 de noviembre de 1915 y el 25 de noviembre de ese mismo año. Aquí justamente comienza la cronología final de este milagro.
Einstein con su hijo Hans Albert Einstein uno de los primeros a los que le escribió contándole de su emoción por el desarrollo de una de los primeras versiones de la teoría (una que si era covariante)
En Noviembre 4 de 1915 Einstein le escribe a su Hans Albert Einstein (quien se convertiría después en un afamado y premiado ingeniero) «En los últimos días complete uno de los mejores papers de mi vida; cuando seas más grande te contaré acerca de él«. Seguro lo hizo.
Se refería aquí al primero de una serie de 3 papers históricos que publicaría entre esta fecha y el 25 de noviembre de 1915.
En el paper que finalizaba hoy, Einstein conseguía lo que no había podido en su paper de 1913 con Grossmann (ver Antecedentes). Recordemos que la teoría «embrionaria» de la Relatividad General que elaboro de la mano de su amigo, no era completamente covariante (es decir las ecuaciones cambiaban si se modificaba el punto de vista en el que se observaban los fenómenos).
En la versión de la teoría presentada el Jueves 4 de Noviembre, lograba por fin la covarianza de las ecuaciones. Sin embargo lo hacía a un costo que no pasarían por alto sus críticos: las ecuaciones publicadas por Einstein en esta versión mejorada de su teoría, eran covariante únicamente si las reglas de transformación satisfacían una condición matemática muy particular (el determinante de la métrica tenía que ser unitario). ¿Qué significaba esta condición tan particular? ¿cuáles eran las implicaciones para la teoría?.
Einstein estaba feliz por este nuevo logro, tal y como se lo manifesto a su pequeño Hans (que para este entonces tenía 11 años). Sin embargo la covarianza general todavía se le escapaba entre los dedos.
Einstein y Hilbert iniciaron una apasionante carrera por la deducción de las ecuaciones de la Relatividad General que culminó en los últimos días del mes de noviembre de 1915
A mediados de 1915 Einstein conoció al eminente matemático David Hilbert. Hilbert lo había invitado para que dictará una serie de conferencias sobre su naciente Teoría General de la Relatividad, conferencias que se desarrollaron sin inconvenientes en Julio de 2015.
La impresión que quedo en la mente de Einstein fue la de haber convencido a Hilbert de la veracidad de algunas de las suposiciones que había utilizado para el desarrollo de su versión embrionaria de la teoría (ver Antecedentes).
Esto era muy satisfactorio para él porque entre los críticos más duros de la teoría se encontraban otros matemáticos brillantes, entre ellos el mismísimo Levi Civita.
La situación no fue sin embargo tan afortunada para Einstein. Para Octubre de 2015 Hilbert había manifestado a otros colegas que consideraba que algunas de las deducciones realizadas por Einstein en el artículo de 1914 (ver Antecedentes) eran incorrectas. Einstein diría más tarde «[Hilbert] encontró un pelo en mi sopa que la hecho a perder«. De Hilbert, Einstein también decía era el único que entendía realmente la teoría, algo que después realmente lamentaría.
Como quiera que fuese, ese encuentro con Hilbert en Julio de 2015 y los meses que le siguieron marcaron el tiempo de la renuncia de Einstein a su teoría embrionaria, aquella que había concebido dos años antes con Grossman. Meses después y en tono jocoso diría de sí mismo «Ese señor Einstein que cada año descubre que su teoría del año anterior esta equivocada.»
El domingo 7 de noviembre, Einstein envía a Hilbert el manuscrito del artículo del Jueves anterior (Noviembre 4 de 1915) con la esperanza de que este revise la versión mejorada de su teoría. Con la carta adjunta al manuscrito, Einstein le confesaba a Hilbert: «me di cuenta hace 4 semanas [a principios de octubre] que los métodos para demostrar que usaba antes eran errados». 2 semanas después, cuando todo había terminado, le confesaba también a su amigo Arnold Sommerfield «Desafortunadamente he inmortalizado en mis papers [anteriores] los […] errores que cometí durante esta lucha».
¿Qué pensaría Hilbert al saber que Einstein había superado los escollos de su artículo de 1914? ¿estaría el mismo trabajando en una versión independiente de la teoría?.
Miércoles, Noviembre 10 de 1915
Einstein no estaba solo en su «lucha» por una teoría geométrica de la gravedad. El domingo 7 de noviembre de 2015 Hilbert le anunció que el también estaba trabajando en su propia teoría (ilustración tomatada de: http://www.famousscientists.org/david-hilbert)
Un miércoles 10 de noviembre de hace 100 años, Einstein recibe una carta que posiblemente esperaba con ansiedad. Era la respuesta de David Hilbert, uno de los más grandes matemáticos de la historia que a esta altura conocía bien sus esfuerzos por desarrollar una teoría geométrica de la gravedad. El Matemático había leído el manuscrito que 3 días antes Einstein le había enviado y que contenía una versión mejorada de su teoría.
En la carta Hilbert le manifestaba a Einstein que estaba trabajando en su propia versión de una teoría unificada del electromagnetismo, la gravedad y la materia. En ella, la gravedad y el electromagnético eran fenómenos profundamente emparentados; la materia, adicionalmente tendría un origen fundamental en los fenómenos electromagnéticos. Estas ideas fascinantes (que no resultaron finalmente ser ciertas) influenciaron sin embargo el desarrollo del siguiente paso de Einstein hacia una teoría lógicamente completa de la Gravedad.
El proyecto de Hilbert era distinto del que perseguía Einstein. Como buen matemático Hilbert quería obtener las ecuaciones que regían el comportamiento del electromagnetismo y la gravedad desde un conjunto de axiomas básicos. Deducirlas de allí usando únicamente razonamientos matemáticos. ¡Vaya idea!
Sus esfuerzos, sin embargo no eran completamente «originales». Una parte de la idea venía originalmente de Gustav Mie quién en el año 1912 había propuesto por primera vez una conexión entre el electromagnetismo y la materia (pero no la gravedad). La parte gravitacional de su trabajo, por otro lado, había sido inspirada por los esfuerzos del mismo Einstein. Einstein llegaría incluso a quejarse más adelante de que Hilbert le había «copiado» literalmente sus ideas a partir de las presentaciones que él mismo había hecho en Gottingen en Julio de 1915. Todo parece indicar que de alguna manera así fue. Hoy los historiadores de la ciencia saben que el trabajo de Hilbert no comenzó sino hasta el otoño de ese mismo año.
Originales o no, Einstein sabía muy bien que el genial Hilbert, el único que en su opinión entendía cabalmente el proyecto de la Relatividad General, podría llegar primero a formular ecuaciones completamente covalriantes de la Gravedad antes que él.
Un elemento nuevo se agregaba pues a la que de por sí ya era una difícil carrera: Einstein tenía un competidor de marca mayor. Alguien con los conocimientos y habilidades necesarias para ganar el «sprint» más importante de la física fundamental en 250 años.
¿Qué pasaría por la cabeza de Einstein aquel 10 de noviembre de 1915? ¿tendría esta carta y el reconocimiento de que había un competidor detrás del mismo resultado que buscaba con ahínco desde aquella primavera de 1912, un efecto sobre su estado de ánimo? ¿sería este un aliciente más para conseguir en un tiempo record una versión sin defectos de su Teoría?.
Por aquel entonces Hilbert estaba desarrollando la teoría de que todo en el Universo era en últimas campos electromagnéticos. Einstein acogió con ahínco esta idea para justificar las suposiciones matemáticas que publicaba ahora sobre una base física en el addendum del 11 de noviembre de 1915
Hoy, hace 100 años exactamente, se produjo un evento decisivo en nuestra historia.
Después de sus intercambios epistolares de los días inmediatamente anteriores con David Hilbert, intercambios que parecen haberlo influenciado en esta etapa del desarrollo de su teoría, Einstein estaba listo para publicar algunas correcciones a su paper del Jueves 4 de noviembre.
Un 11 de Noviembre como hoy, Albert Einstein pública un addendum (Nachtrag) a su artículo de la semana anterior (Noviembre 4). En este documento re afirma la validez de las ecuaciones que había puesto al «descubierto» una semana atrás, pero además intenta dar una explicación física a las suposiciones matemáticas más «incómodas» que había hecho para escribirlas.
No debemos perder de vista que las ecuaciones escritas el 4 de noviembre (y que los más gomosos pueden encontrar en la tabla más abajo), fueron las primeras ecuaciones de la gravedad correctas (en condiciones todavía restringidas, como veremos aquí) escritas en la historia. El secreto mejor guardado de la naturaleza, había sido revelado (parcialmente) por Einstein.
El addendum del 11 de noviembre no representaba ningún avance significativo hacia las ecuaciones finales (que presentaría solo dos semanas después), pero fue un paso decisivo para entender mejor algunas condiciones físicas claves detrás del maremagnum matemático en el que se había convertido esta búsqueda.
Maremagnum, del que además no podemos marginarnos si queremos contar esta historia con los detalles más relevantes. Esta es una advertencia para el lector más susceptible a los tecnicismos; su paciencia aquí podría recompensarlo más adelante.
En el histórico artículo del jueves anterior (Noviembre 4), del que como vimos Einstein había hablado con satisfacción a su hijo, el genio había logrado superar las dificultades de su teoría embrionaria de los años previos. Lo había hecho al reconocer tres hechos matemáticos básicos:
- Que la «intensidad» del campo gravitacional no debía ser representado usando directamente la métrica sino los denominados «símbolos de Christoffel». Estos «símbolos» (uno de los dolores de cabeza de todos los aprendices de relatividad general) no son nada mas que fórmulas complejas (pero muy poderosas) que contienen cambios locales de la métrica (derivadas de la métrica). En una analogía Newtoniana, la métrica es como el «energía potencial» mientras que los símbolos de Christoffel son como la «fuerza».
- Con símbolos de Christoffel a la mano, Einstein había descubierto finalmente el jueves anterior, la importancia del denominado «Tensor de Ricci», otra abstracción matemática que se relaciona directamente con los símbolos de Christoffel a través también de derivadas de estos últimos (vea la tabla más abajo). Siendo los símbolos de Christoffel la medida directa del campo gravitacional, la ecuación de campo debía ser una «ecuación diferencial» que se expresaba directamente en términos del Tensor de Ricci (su derivada).
- Para que las ecuaciones de la gravedad escritas con el tensor de Ricci fueran covariantes (no cambiaran al cambiar de observador), los cambios debían pertenecer a un conjunto restringido de transformaciones, conocidas por los matemáticos como transformaciones unimodulares.
¿Qué demonios significa la última condición? No es importante para nosotros aquí adentrarnos en más detalles matemáticos; lo único que podemos decir es que la ecuación de campo de Noviembre 4 no era completamente covariante y que Einstein no tenía ninguna manera de explicar por qué no lo era o más bien porque solo lo era bajo transformaciones unimodulares.
Aquel jueves 11 de noviembre de 1915, Einstein intentaba (desesperadamente) dar un sentido físico a esta última condición. Recordemos que sobre sus hombros, respiraba el «monstruo» de Hilbert.
Pero no hay mal que por bien no venga. Fue justamente ese «monstruo» el que iluminó (temporalmente) el camino de Einstein.
La condición 3 tenía una implicación física muy delicada: las ecuaciones deducidas el 4 de noviembre solamente aplicarían, aparentemente, para describir el espacio-tiempo distorsionado por campos electromagnéticos (técnicamente para cualquier forma de materia y energía para la cuál la «magnitud numérica» del tensor momento-energía o traza como la llaman matemáticamente, fuera cero). Sus ecuaciones no eran aplicable directamente a la materia convencional.
Sí. Como lo oyen. Tan solo 14 días antes de escribir la forma definitiva de las ecuaciones de una de las más importantes teorías de la historia, Einstein solo tenía una versión de la teoría que se aplicaba exclusivamente a campos electromagnéticos.
En lugar de considerar esto un defecto de la teoría, Einstein lo convirtió, aquel jueves hace 100 años, en algo así como un pequeño descubrimiento o más bien como la confirmación de un hecho ya intuido por otros antes que él. Para explicarlo escribió:
«Hay que recordar que, de acuerdo a nuestro conocimiento, la ‘materia’ no debe ser concebida como algo dado por principio o como algo simple desde el punto de vista físico. Hay, y no son pocos, quienes incluso esperan ser capaces de reducir la materia a procesos electrodinámicos puros [se refería naturalmente a Hilbert], los cuáles deberán ser descritos en una teoría más completa que la electrodinámica de Maxwell«.
Hasta ahí todo parecía muy, digamos, «Hilbertiano» (aunque el no lo reconociera abiertamente). Después agrega (y esto si es muy suyo):
«Asumamos que en una teoría como esa la [magnitud escalar] del tensor momento-energía [total] fuera también nula! […] Probaría esto que ¿no podría haber materia?. Yo pienso que frente a esta pregunta mi respuesta sería negativa, puesto que bien podría ser que en la «materia» […] los campos gravitacionales constituyeran una componente muy importante [!]. [En ese caso la magnitud escalar del tensor momento-energía total sería igual a cero, porque incluye la gravedad adentro, pero la magnitud escalar del tensor momento-energía de la materia independientemente sería diferente de cero].»
Voilà! Si la masa y energía en el Universo, a un nivel fundamental, era una mezcla compleja de materia, campos y espacio-tiempo curvo, las ecuaciones de campo de su artículo del 4 de noviembre aplicarían también a esta mezcolanza misteriosa. Así la condición 3, pensaba Einstein, no era una condición matemática arbitraria, sino una condición física.
Aquel 11 de noviembre Einstein cambia entonces la condición 3 por otra condición físicamente más razonable: dado que la masa y la energía del Universo es en el fondo una mezcla de materia, campos y gravedad, la magnitud numérica del tensor momento-energía total es cero. Por lo tanto los únicos observadores válidos que existen, son los que miden esta situación. Matemáticamente esos observadores son también aquellos para los cuales el cambio de visión respecto a otros observadores es matemáticamente del tipo «unimodular». Así, las ecuaciones de Noviembre 4, que solo eran covariantes para este tipo de observadores, lo eran para los únicos observadores validos del Universo.
La genialidad física de Einstein (que no tenía Hilbert por cierto) le daba la vuelta a una dificultad matemática y la convertía en un descubrimiento físico.
Evolución de las ecuaciones de la gravedad. Las ecuaciones del 11 de Noviembre se diferenciaban de las del 4 en el hecho de que Einstein pensaba que la masa-energía (lado derecho de la ecuación) era una mezcla de materia (la T mayúscula) y espacio-tiempo curvo (la t minúscula). Una versión de esta tabla en pdf esta disponible en este enlace.
Los historiadores de la ciencia consideran que este cambio repentino en la visión de Einstein sobre la relación entre la materia, los campos y la gravedad, fue demasiado inesperado. Para alguien que llevaba años trabajando en el problema sin mencionar casi nunca esta posibilidad (así estuviera en el «ambiente» de la física teórica de aquel tiempo gracias a las ideas previas de otro grande, Gustav Mie), este cambio de visión solo podía deberse a una cosa: el miedo al pensar que Hilbert (quien sostenía una visión similar) podría vencerlo en la carrera de su vida.
¿Se quedará Einstein sin embargo con este «premio de consolación», es decir con una teoría que dependía de una especulación sin comprobación sobre la estructura peculiar de la materia, o en otros términos una teoría que solo funciona en un «Universo a la Hilbert»?
¡Estará por verse!
Contenido de la carta original de Einstein a David Hilbert del 12 de noviembre de 1915 (tomado de: http://einsteinpapers.press.princeton.edu)
El día siguiente a la publicación del addendum de su artículo de Noviembre 4 de 1915, Einstein le escribe a David Hilbert, quien ahora era su colega y competidor en la carrera por sacarle a la naturaleza su secreto mejor guardado: las ecuaciones que describían el fenómeno gravitacional.
La carta era en realidad una respuesta a aquella que Hilbert había enviado el miércoles anterior (Noviembre 10) y en la que le daba detalles fundamentales sobre sus propios avances.
En esta nueva misiva, cuyo texto original en aleman se puede leer en la figura, Einstein primero le agradece a Hilbert por su amable carta de dos días antes pero también le informa sobre sus avances, sometidos ahora para publicación en el addendum, el día inmediatamente anterior. Recordemos que para lograr estos avances el conocimiento de las ideas del propio Hilbert habían jugado un papel fundamental (algo que naturalmente Einstein no mencionó explícitamente en la carta).
Literalmente (la traducción es mía y no se puede culpar a nadie más):
Estimado colega,
Cordialmente le agradezco por su amable carta. Mientras tanto ha habido un nuevo avance en el problema. [He descubierto] que se puede forzar la covariancia general postulando que [el determinante de la métrica sea 1]; así, el tensor de Riemann puede conducir directamente a las ecuaciones de la gravedad. Si mis modificaciones (los cuales no cambian las ecuaciones) son autorizadas, entonces la gravitación deberá jugar un papel fundamental en la estructura de la materia. ¡La curiosidad complica mi trabajo!
Al final de la carrera (tan solo una semana después), el «descubrimiento» enunciado en la penúltima frase (la gravitación deberá jugar un papel fundamental en la estructura de la materia) y que explicamos con detalle en la cronología del día anterior (11 de Noviembre) no resultaría siendo correcto e incluso completamente innecesario para la formulación final de la teoría.
Podemos imaginarnos el cuidado con el que cada palabra, cada detalle de aquellas misivas era escogido por ambos genios. Cualquier cosa que dijeran de más, podría ser usada por el otro como una manera de probar posteriormente la importancia o prevalencia que cada uno tuvo en el resultado de su competidor. Aunque seguramente fueron cartas cordiales no hay duda de que escribirlas sería para cada uno una labor difícil.
Un sábado 13 de noviembre de hace exactamente 100 años, Einstein recibe en Berlin una carta de David Hilbert, Profesor de Matemáticas de la Universidad de Göttingen.
Hilbert le escribe excitado a Einstein contándole de sus propios avances en el desarrollo de una teoría axiomática para el problema de la Relatividad General. En su carta Hilbert declara:
«Como consecuencia de un teorema matemático general, las ecuaciones (de Maxwell generalizadas) de la Electrodinámica resultan una consecuencia matemática de las ecuaciones de la gravedad[; de este modo] la gravitación y la electrodinámica no son distintas en lo absoluto».
¿Qué podría pensar Einstein después de leer esta declaración?. De acuerdo al comentario de su rival, Hilbert no solamente estaba desarrollando una teoría fundamental de la gravedad sino que además había encontrado una teoría «unificada» de la gravedad y el electromagnetismo. ¡El sueño de cualquier físico fundamental!.
Pero ni Einstein, ni Hilbert eran ajenos al hecho de que una cosa era tener el esqueleto de una teoría y otra muy distinta que las ecuaciones de la misma satisficieran rigurosamente todos los requisitos de la física del momento (covarianza general, conservación de la energía, límite Newtoniano, etc.) Adicionalmente todo nuevo modelo debía poder explicar fenómenos no resueltos como el avance del perihelio de Mercurio. ¿Podría Hilbert usar su teoría unificada para explicar este fenómeno?.
No hay duda de que algunos de estos pensamientos debieron pasar por la cabeza de Einstein. También intuyo que la carta de este 13 de noviembre haría sonar nuevamente las alarmas en la cabeza del genio. Debía hacer algo pronto para probar que su versión mejorada de la Teoría General de la Relatividad, la presentada el 4 de Noviembre y «ampliada» dos días antes (11 de noviembre), contenía las ecuaciones correctas que describían el fenómeno gravitacional antes de que Hilbert presentará las mismas ecuaciones (o tal vez unas más generales todavía) y obtenidas a partir de su método «axiomático».
Finalmente, en su misiva de este 13 de noviembre, Hilbert invita a Einstein para atender una charla que el mismo dictará en 3 días en Göttingen, el 16 de noviembre de 1915. Allí presentará los detalles matemáticos de su teoría axiomática de la gravedad y el electromagnetismo. Algo que seguramente a Einstein le interesaba.
¿Aceptara Einstein la invitación de Hilbert en este momento? ¿podrá su curiosidad por conocer en detalle el trabajo de su rival vencer su propio deseo de llegar rápido a un resultado que le permita adelantarse y probar la validez de sus ecuaciones antes de que su rival publique las suyas propias? ¡Estará por verse!
La calle Haberland (Haberlandstrasse) en el barrio Bavaro (Bayerishes Viertel) en Berlin en la que vivió Einstein durante los años cuando creo la Teoría General de la Relatividad. Los edificios fueron destruidos durante la Segunda Guerra Mundial y reemplazados por los más recientes que se ven también en esta imagen (tomado de: http://bit.ly/1NUtpWy)
Llegamos justo a la mitad de esta historia. Han paso ya casi 11 días desde el artículo histórico de aquel jueves 4 de noviembre en el que Einstein presentaba la primera versión (parcialmente) correcta de las ecuaciones de la gravedad. Faltan todavía 10 decisivos días hasta la presentación del jueves 25 de noviembre en la que Einstein pone al descubierto ante la Academia Prusiana de las Ciencias la solución final al problema de la gravedad.
Dos días antes (el sábado 13 de noviembre de 1915) Einstein había recibido de Hilbert una importante carta en la que este último ofrecía detalles sobre sus avances hacia la que era no solo una teoría de la gravedad, sino además una en la que los fenómenos electromagnéticos y gravitacionales aparecían descritos por un mismo formalismo. Después de trabajar 8 años en su teoría, Einstein veía como un hábil matemático, inspirado en su propio trabajo, le daba forma final a las ecuaciones con las que soñaba.
En su carta del sábado, Hilbert le había ofrecido a Einstein una oportunidad única: ver los detalles de su teoría durante una presentación que realizaría el martes 16 de noviembre en Göttingen. Ante la sugestiva invitación y los detalles revelados por Hilbert, Einstein respondería:
Estimado Colega,
Sus estudios me interesan enormemente, especialmente por que yo mismo me he devanado los sesos intentando poner un puente entre la gravedad y el electromagnetismo.
Gustav Mie fue el primero en proponer la idea de un vínculo profundo entre la gravedad y el electromagnetismo.
(parcialmente) surgiera más del deseo de Einstein de mostrar a Hilbert que las ideas físicas del adenddum del 11 de noviembre tenían origen en sus propios trabajos anteriores para así reclamar después la primacía en estas ideas. Después de esta aparente falacia, Einstein continúa:
[…] A pesar de todo, tengo que negarme por el momento a ir a Göttingen, [me gustaría] esperar hasta que pueda estudiar sus [ideas] directamente del artículo impreso, [y también] porque estoy muy agotado además de afectado por dolores estomacales.
En esto Einstein era completamente sincero. Primero, no podía juzgar el trabajo de Hilbert solo por unas indicaciones en una carta. Tenía que leer directamente el trabajo, de la misma manera que Hilbert ya había leído para la fecha el importante trabajo de Einstein del 4 de Noviembre y posiblemente también las aclaraciones del adenddum del 11 de Noviembre. En segundo lugar, podemos imaginar realmente su cansancio por aquellos días; agregar un nuevo viaje tan solo para atender una conferencia resultaría realmente agotador.
Finalmente estaban sus problemas estomacales. Este intenso y estrenaste período de la vida de Einstein, sumado aparentemente con el efecto que tendría en él la falta de comida del período de la Gran Guerra (que había comenzado apenas 1 año antes) le dejo a Einstein de por vida problemas con su sistema digestivo. De acuerdo con evaluaciones médicas hechas en vida, Einstein sufriría de enfermedad del hígado, úlcera de estómago, inflamación de la vesícula biliar, ictericia y dolores intestinales. Más adelante en 1917, el mismo Einstein le confesaría a su amigo, el astrónomo Erwin Finlay-Freundlich que creía que sufría de cáncer de estomago; la muerte sin embargo no le preocupaba a Einstein en 1917; el hombre sentía que su misión en la Tierra, la creación de la Teoría de la Relatividad General se había completado. Einstein se equivocaría y viviría por otros 39 años.
Einstein termina su carta a Hilbert del 15 de noviembre, diciendo:
Por favor envíeme, si es posible una copia del borrador de su artículo para satisfacer mi impaciencia [por conocer los detalles de su trabajo].
Los mejores deseos y muchas gracias también a su esposa
¿Estaría Hilbert realmente dispuesto a compartir con Einstein un artículo no sometido con su teoría? Ya veremos.
La precesión del perihelio de Mercurio, representada aquí con la analogía de una bolita que se mueve en una superficie curva (representando el espacio-tiempo alrededor del Sol) fue un artículo clave para apuntalar las ideas de Einstein tan solo 7 días antes de que mostrará la forma definitiva de su teoría
Un 18 de noviembre como hoy pero hace 100 años exactamente, Einstein sacudió nuevamente la física fundamental publicando ante la Academia Prusiana de las Ciencias, la muy esperada solución a un problema Astronómico conocido por más de 50 años: el desplazamiento anómalo del perihelio de Mercurio.
El nuevo evento crucial ocurrió otra vez un jueves. Recordemos que también un jueves, 2 semana antes (Noviembre 4 de 1915), había sido publicada de su primera versión mejorada de la Teoría. El jueves de la semana anterior (Noviembre 11 de 1915) Einstein había publicado el famoso addendum al artículo del 4 en el que introducía una nueva condición física que justificaba porque sus ecuaciones eran covariantes solo para un conjunto de observadores. Sería también un Jueves, pero una semana después (Noviembre 25 de 1915) cuando Einstein daría a conocer la forma final de la teoría.
¿Qué tenía Einstein con los jueves?. ¡Pues nada! La razón de esta aparente coincidencia estriba en el hecho que ese día se reunía la Clase de Física de la Academia Prusiana de Ciencias. Lo realmente notable es como Einstein, armado de una energía inagotable, alimentada seguramente por su competencia con Hilbert, aprovechó cada una de las clases de esas 3 semanas para presentar sus avances en la formulación final de la Teoría.
Volviendo a Mercurio. La Solución de Einstein al problema de la precesión del perihelio de este planeta es elegante; todo un clásico de la física fundamental.
La primera página del artículo de Einstein «Explicación del Movimiento del Perihelio de Mercurio a partir de la Teoría de la Relatividad» que presentó aquel 18 de noviembre de 1915 (tomado de: http://einsteinpapers.press.princeton.edu).
Si se parte de las ecuaciones de su teoría (la versión utilizada por Einstein aquel histórico 18 de noviembre era la que había presentado en su addendum del 11 de noviembre) y se calcula el movimiento de una partícula en el débil campo gravitacional del Sol, las ecuaciones resultantes no resultan ser exactamente las mismas que aquellas usadas por los astrónomos desde los tiempos de Newton, 250 años antes.
¿Deberían serlo? ¡Pues sí! Al tratarse del Sistema Solar y de sus campos gravitacionales de baja intensidad, se esperaría que en el límite las ecuaciones resultarán idénticas a las de la gravedad Newtoniana. Pero Einstein descubriría que aún en «primera aproximación» había una discrepancia no despreciable entre las ecuaciones de la gravedad de su sucesor y las resultantes de su nueva teoría. Así por ejemplo la fuerza de gravedad en la teoría Newtoniana estaba dada por una fórmula simple:
F = G M m / d2
¿Quién no la recuerda?. Pues bien, la teoría general de la relatividad de Einstein predice que si describimos el efecto de la distorsión del espacio-tiempo sobre un planeta con el antiguo concepto de fuerza, la intensidad de esta «fuerza» obedecería una fórmula diferente:
F = G M m / d2 + G M m (2GM/c2) / d3
Como puede verse, además de la famosa dependencia con el «inverso del cuadrado de la distancia» la nueva fórmula tiene un segundo término que desciende con el «inverso del cubo de la distancia». Este segundo término, sin embargo, incluye además de los factores bien conocidos G (la constante de gravitación universal), M (la masa del Sol), un nuevo término, (2GM/c2). Esta cantidad, que tiene unidades de longitud, es sin embargo muy «pequeña» en términos astronómicos: es igual a tan solo 3 kilómetros. ¿Qué significan estos 3 km?. Nadie lo sabía en este entonces. Sin embargo al dividir esos 3 km entre la distancia a cualquier planetas (que es de millones de km), el segundo término de la ecuación anterior resultaba ser demasiado pequeño para que la notarán los astrónomos en los tiempos de Kepler, Galileo o Newton.
Así se ve el movimiento de Mercurio (y de todos los planetas) sometidos a los efectos de la gravedad de Einstein.
El efecto más importante de este nuevo término en la «fuerza gravitacional» es que al calcular la forma de las órbitas de los planetas (incluso en condiciones ideales, es decir sin incluir el efecto de otros planetas), estas no serían perfectamente elípticas (órbitas cerradas). Los planetas, regidos por esta nueva ley (la ley correcta, vale la pena aclarar), arrancan de un punto en su órbita (el perihelio por ejemplo), pero después de una vuelta no llegan nuevamente a él.
Matemáticamente, la distancia de un planeta al Sol en una órbita elíptica, según la teoría de Newton (y su fórmula clásica de la gravedad) se puede calcular con la ecuación:
r = a (1- e2) / [1 + e cos (f)]
Donde a es la distancia promedio al planeta, e es la excentricidad y f es el ángulo del planeta respecto al perihelio. Usando la nueva fórmula deducida por Einstein aquel Jueves 18 de Noviembre de 2015, la misma distancia estaría dada por:
r = a (1- e2) / [1 + e cos (f-g)]
¡Otra sutileza! La nueva fórmula se diferencia de la clásica porque tiene un término adicional, un ángulo pequeñito, g, aquel en el que quedaba corrido el planeta después de una vuelta completa alrededor del Sol.
Un jueves 18 de noviembre hace 100 años Einstein puso al descubierto antes los Académicos Prusianos la fórmula para calcular este ángulo:
g = 3 π (2GM/c2) / [a(1-e2)]
Creánlo o no, esta fórmula constituye uno de los aporte más importantes de Einstein a la historia de la ciencia. ¡No todo en su vida fue E = m c2!
Cuando Einstein finalmente puso en esta fórmula los valores de las cantidades que aparecen allí y que corresponden a la órbita de Mercurio, ocurrió un «milagro» (el milagro al que se refiere esta cronología): el valor de g coincidía casi exactamente con el que habían medido los astrónomos.
¡Einstein por fin daba en el blanco! 8 años de duros esfuerzos producían el primer fruto concreto.
¿Pero lo había hecho solo? ¡Naturalmente no!
Einstein con su amigo Michele Besso con el que calculo por primera vez el avance del perihelio de Mercurio en 1913. No lo sabían en ese entonces, pero ese esfuerzo (que no rindió el fruto esperado) sería clave para que Einstein ganará la carrera de la Relatividad General a Hilbert
Es importante recordar aquí que Einstein ya había hecho el primer cálculo de este efecto en 1913 usando su teoría «embrionaria» y con la invaluable ayuda de su amigo Michele Besso. Sin embargo en ese entonces el cálculo había resultado muy mal: el valor predicho por la primitiva Relatividad General era casi 3 veces menor que el observado por los Astrónomos.
Este antecedente, sin embargo, le permitió calcular muy rápidamente el avance del perihelio con su teoría actualizada. Es posible especular que sin ese esfuerzo decisivo de 1913, en el que participaría su buen amigo, Einstein hubiera perdido el «sprint» de su vida.
Pero el artículo de aquel 18 de noviembre contenía una «ñapita». En un humilde párrafo hacia la mitad de su artículo del 18 de noviembre, Einstein predecía:
[…] Con de la aplicación del principio de Huygens encontramos […], después de un cálculo simple, que un rayo de luz que pasa a una distancia D [del Sol] sufre una desviación igual a 4 (GM/c2) / D. […] Un rayo de luz que pasará rozando la superficie del Sol experimentaría una desviación de 1.75 segundos de arco.»
Toda teoría nueva, que se precie de su valor, debería explicar lo que se conoce (el desplazamiento del perihelio de Mercurio) y predecir efectos no observados (la desviación de los rayos de luz cerca al Sol). Sin haber nacido completamente, la Teoría General de la Relatividad ya conseguía ambas cosas. ¡Un milagro sin igual!. 4 años después, en 1919, dos expediciones astronómicas destinadas a medir el efecto predicho por Einstein durante un eclipse total de Sol, una de ellas encabezada por astrónomos ingleses, lograrían lo impensable: medir el efecto predicho aquel jueves 18 de noviembre de hace 100 años. Einstein sería uno antes de aquella famosa observación astronómica y otro después.
Pero aquel jueves de hace un siglo, su labor no estaba completa todavía. Einstein sabía muy bien que su Teoría de aquel día tenía un pequeño defecto: sus ecuaciones solo eran covariantes para una familia restringida de observadores. Alternativamente, su teoría dependía de que una exótica teoría sobre la estructura de la materia resultará verdadera.
¿Podría Einstein construir una teoría de la gravedad que sirviera para cualquier tipo de materia y que cumpliera además con todos los requisitos impuestos por el mismo para una teoría física válida?. No parecía una tarea fácil.
Ahora que Einstein había «triunfado» sobre la naturaleza (en palabras del propio Hilbert) prediciendo el movimiento anómalo de Mercurio, aún con una teoría incompleta de la Gravedad (recordemos que la versión que uso en su artículo de Noviembre 18 todavía no contenía ecuaciones completamente covariantes), David Hilbert, su rival en esta histórica carrera, debía reconocer la superioridad como «físico» de su colega en Berlin.
Así lo hizo. El 19 de Noviembre de 1915 Einstein recibe desde Göttingen una sentida nota de felicitación. En la nota Hilbert le escribe:
Apreciado Colega,
Muchas gracias por su carta y mis mas cordiales felicitaciones por haber vencido el movimiento del perihelio. Si yo pudiera calcular tan rápido como usted, en mis ecuaciones el electrón habra también capitulado y al mismo tiempo el átomo de Hidrógeno habría presentado su nota de disculpas acerca de por qué no emite radiación.
Estaré agradecido si continúa enviándome actualizaciones sobre sus últimos avances.
Saludos de su servidor,
David Hilbert
Una curiosa y divertida nota a mi buen saber y entender. Para mí, en el lugar de Hilbert aquel 19 de noviembre de 1915, sería difícil tener buen sentido del humor viendo como mi rival con su intuición y experiencia física pasaba como una aplanadora sobre mis propios esfuerzos.
En su carta a Einstein el 19 de noviembre Hilbert hacía referencia a un problema clásico del electromagnetismo, uno que su teoría unificada de la gravedad y el electromagnetismo podría resolver de la manera como Einstein había resuelto el problema de Mercurio.
Es interesante anotar que el problema al que se refería Hilbert al decir que «el átomo de Hidrógeno habría presentado su nota de disculpas acerca de por qué no emite radiación«, es la muy conocida paradoja de la física de la época, según la cual el Electromagnetismo clásico predice que un electrón en órbita alrededor del núcleo atómico debería emitir radiación continuamente decayendo hasta que el átomo desaparece. Si así fuera la materia debería desbaratarse en una fracción de segundo. El problema había sido «resuelto» en 1913 por Niels Bohr al aplicar una hipótesis cuántica en el átomo. Este comentario de Hilbert, sin embargo, demuestra que a pesar de tener ya casi dos años, el átomo cuántico de Bohr todavía no era «aceptado» de forma generalizada por la comunidad científica. La verdad es que si bien el modelo de Bohr es reconocido hoy como pionero en el desarrollo de la exitosa teoría cuántica (una teoría tan e incluso más exitosa que la misma Relatividad General), su solución al problema del átomo solo se afianzaría y confirmaría con los trabajos de Erwin Schrödinger casi 10 años después.
De otro lado la «carta» (postcard) a la que se refiere Hilbert en su nota del 19 de noviembre, fue una que había le había dirigido Einstein el día anterior (Noviembre 18), anunciando orgulloso su más importante logró en esta carrera. En la carta del 18 Einstein escribía acerca de la razón por la que sus esfuerzos anteriores habían fracasado:
«[…] La dificultad no era encontrar ecuaciones covariantes generales para la [métrica]. Esto se consigue fácil con la ayuda del tensor de Riemann. En su lugar fue muy difícil reconocer que estas ecuaciones eran una generalización, es decir, una generalización simple y general de las ecuaciones de Newton. Ha sido solo en las últimas semanas que he logrado entender esto»
Con estas palabras Einstein finalmente daba el «más sentido pésame» a sus esfuerzos de años anteriores por buscar ecuaciones de la gravedad basadas en la métrica. El genio continúa en su carta a Hilbert del día anterior (y esta parte es fundamental en la historia):
«[…] 3 años atrás con mi amigo Grossman ya había tenido en cuenta las únicas ecuaciones generales, las cuáles parecen hoy las correctas. En aquel entonces las hicimos a un lado con pesar porque me parecía que conducían a una incongruencia con la ley de Newton. Lo importante es que las dificultades han sido superadas.»
En esta parte de la carta, Einstein, de alguna manera, busca recordarle a Hilbert su prioridad sobre las ecuaciones finales de la Relatividad General (ecuaciones que para esta fecha apenas tiene escritas parcialmente). Que no quede ninguna duda de que sus logros de la semana anterior (11 de noviembre) y de aquel histórico 18 no fueron producto de su interacción con él (con Hilbert) sino de largos años de trabajo. También es notable ver como le da algún crédito a su amigo Grossman, crédito que después le causaría tanta dificultad reconocerle.
Lo que no sabía Einstein aquel 18 de noviembre, ni hoy 19, era que Hilbert tenía preparada la movida más importante de esta «partida de ajedrez» histórica. El genio de Göttingen se preparaba (secretamente, al menos para Einstein) para presentar ante la academia de las Ciencias de su ciudad, la forma actual de su teoría. Una movida inteligente que le aseguraría para muchos la tan deseada prioridad de la publicación de las ecuaciones finales de una Teoría Geométrica de la gravedad.
Sede de la Real Academia de las Ciencias de Göttingen (Akademie der Wissenschaften zu Göttingen) en la que Hilbert presentó el 20 de noviembre de 1915 su primera aproximación a la deducción de las Ecuaciones de una Teoría Geométrica de la Gravedad
Un sábado 20 de noviembre de 1915, hace exactamente 100 años, David Hilbert, uno de los más grandes matemáticos de la historia y competidor de primer línea de Albert Einstein en el desarrollo de una teoría geométrica de la gravedad, presentaba ante la Academia Real de las Ciencias de Göttingen los resultados de su propio programa de investigación.
Para ese día, Einstein, quien trabajaba arduamente desde hacía 8 años en el desarrollo de una nueva teoría de la gravedad, conocía bien los esfuerzos de su rival a quien admiraba profundamente por ser en sus propias palabras el único que apreciaba realmente la importancia de este esfuerzo.
Es posible que unos días antes Hilbert le hubiera enviado a Einstein una copia manuscrita del trabajo histórico que presentaba ese sábado 20 de noviembre (no se tiene certeza si así fue). Lo que no sabía Einstein ese día era que ese mismo trabajo se estuviera haciendo público ante los académicos de Göttingen. Una inteligente «movida» como esta, daba la prioridad histórica a Hilbert del descubrimiento y publicación de las ecuaciones centrales de la Teoría de la Relatividad General. Naturalmente Einstein siempre sería reconocido como el padre de la teoría, pero al publicar con anticipación la forma final de las ecuaciones claves (ecuaciones que Einstein no tenía escritas para esta fecha), Hilbert «compartiría» con él, el crédito por algo que tenía un costo personal y científico muy alto para Einstein.
Hilbert logró lo que se propuso. Por casi 80 años desde aquel histórico noviembre de 1915, físicos e historiadores de la ciencia han reconocido la prioridad del matemático de Göttingen en la formulación de las ecuaciones de la gravedad. Así quedo reflejado por ejemplo en la referencia que hizo Kip Thorne en su popular libro de 1994, «Black Holes and Time Warps», donde sobre el asunto de la «carrera» entre Hilbert y Einstein escribió:
Sorprendentemente, Einstein no fue el primero en descubrir la forma correcta de las leyes de la gravedad, la forma que cumple su principio de relatividad [(covarianza general)]. El reconocimiento por el descubrimiento debe ser para Hilbert [… quien en unas pocas semanas de esfuerzo obtuvo] las leyes correctas, derivadas no por el arduo proceso de ensayo y error seguido por Einstein sino por un camino matemático elegante y sucinto.
Sin embargo, hoy, muchos años después de estudiar de forma juiciosa todos los documentos relacionados con la histórica carrera, incluyendo las cartas entre los dos gigantes, el borrador (proofs) de la nota presentada por Hilbert ante la academia aquel sábado 20 de noviembre, así como versiones comentadas a puño y letra por el mismo Hilbert unas semanas después, han permitido a historiadores de la física concluir que la versión de la teoría presentada por él aquel 20 de noviembre en Göttingen no contenía todavía las ecuaciones finales que presentaría Einstein tan solo 5 días después.
Audio de una intervención de Hilbert en radio en el año 1930 hablando sobre la importancia de las matemáticas en el conocimiento de la naturaleza. Para una transcripción en inglés del discurso vaya a: http://bit.ly/1YoM7sm.
Recordemos que el proyecto de Hilbert era muy diferente al de Einstein (aunque el resultado final que buscaban fuera el mismo). En lugar de una teoría funcional y predictiva de la gravedad, Hilbert se había propuesto (al parecer tan solo unos meses antes) construir una teoría del electromagnetismo, la materia y la gravedad, partiendo solamente de principios matemáticos simples (axiomas). Obviamente estos principios estaban inspirados en el conocimiento que de la naturaleza de estos fenómenos tenía la física de la época. Pero el intento de probar que las leyes físicas podrían obtenerse deductiva y no inductivamente (como habría hecho Einstein y otros antes que el), era ciertamente novedoso. Más allá de eso el proyecto de Hilbert incluía también una meta ambiciosa: poner dentro de un mismo marco teórico o deducir de los mismos principios matemáticos básicos, las ecuaciones que regían el comportamiento de los campos electromagnéticos, la materia y ahora también la gravedad.
Hoy se sabe que la teoría que había desarrollado Hilbert para la fecha de su presentación en Gottingen contenía los elementos esenciales de su proyecto unificador. También se sabe que estaba en el camino correcto hacia las ecuaciones finales que describen la distorsión gravitacional del espacio-tiempo. Sin embargo su teoría del 20 de noviembre todavía adolecía de problemas serios, especialmente la parte gravitacional, para el desarrollo de la cual se había inspirado en los trabajos de Einstein previos al artículo del 4 de noviembre.
Para ponerlo en palabras llanas, la teoría de la gravedad de Hilbert de aquel 20 de noviembre de 1915, deducida y todo a partir de principios matemáticos simples, era tan correcta como la teoría de la gravedad de Einstein de 1914. Recordemos que el mismo Einstein había probado que su teoría anterior a 1915 estaba equivocada.
Hoy es claro que Hilbert nunca presentó las ecuaciones finales de la Relatividad General aquel 20 de noviembre. Ninguna de ellas aparece explícitamente en la primera versión del manuscrito presentada ante la academia aquel día, versión de la que se conserva hoy copia original (un documento de unas 14 páginas al que le faltan algunos apartes).
Aún más. El documento original de Hilbert, que aparece fechado el 20 de noviembre (fecha de sometimiento) presenta correcciones y notas hechas a puño y letra por el mismo que fueron realizadas el día 6 de diciembre de 1915, 4 días después de que se publicará la versión final de las ecuaciones escritas por Einstein en el histórico 25 de noviembre de 1915 del que hablaremos más adelante.
En las notas que escribiría Hilbert a mano el 6 de diciembre de 1915 en las márgenes de su primer borrador del 20 de noviembre, se pone al descubierto que el matemático habría leído ya el artículo de Einstein del 25 y habría reconocido los errores de su propia teoría. La versión final del artículo de Hilbert (titulado los «Fundamentos de la Física») se publico solo hasta el 31 de marzo de 1916, muchos meses después de la disputa.
Así pues, y contrario a como lo pensaron en un momento muchos historiadores de la física, no fue Einstein quien después de conocer el trabajo de Hilbert del 20 de noviembre, formuló sus ecuaciones finales de la Relatividad General, que presento después el 25 de ese mes; en realidad fue al contrario, las ecuaciones formuladas por Hilbert en la versión definitiva de su artículo, recibieron una influencia definitiva del trabajo publicado por Einstein aquel histórico 25 de noviembre.
Para los más escépticos he aquí dos pasajes hallados en la versión del artículo de Hilbert fechada el 6 de diciembre:
- En la parte en la que Hilbert describe matemáticamente la gravedad usando para ello las «componentes» de la métrica, el matemático pone a mano en el margen (para después aparecer en la versión final del artículo) «introducido primero por Einstein». Con esto hace explícito el reconocimiento de que fue el mismo Einstein el que propuso por primera vez establecer una conexión entre las componentes de la métrica y el potencial gravitacional. Esta idea es anterior a la carrera de aquel noviembre, de modo que una referencia explícita como esta solo tendría explicación si Hilbert estuviera intentando dejar claro que Einstein tuvo la prioridad en la mayoría de los elementos esenciales de la teoría.
- En uno de los apartes del artículo, el texto original del 20 de noviembre dice: «A continuación […] me gustaría desarrollar, esencialmente a partir de 3 axiomas, una sistema
nuevode ecuaciones básicas de la física». La palabra «nuevo» aparece tachada en las correcciones a mano del 6 de diciembre lo que refleja el reconocimiento de la prioridad dada a Einstein por el descubrimiento de este sistema de ecuaciones. - Más adelante tacha otra palabra clave: «El motivo que me guía para preparar
mila teoría es dado por el siguiente teorema». De nuevo al eliminar el «mi» de la frase pone en evidencia que para el 20 de noviembre estaba convencido de que la teoría, una teoría suya y de nadie mas, era la teoría correcta. Sin embargo, después de conocer el resultado publicado por Einstein el 25 de noviembre, resultado que demostraba que sus ideas del 20 eran incompletas e incluso equivocadas, debía entonces admitir que esta no era su teoría sino la de alguien mas. - En la versión final del artículo de marzo de 1916 Hilbert escribe explícitamente: «Las ecuaciones diferenciales de la gravedad que resultan están de acuerdo con la magnífica teoría de la relatividad establecida por Einstein en sus últimos artículos».
Primer borrador del artículo «Die Grundlagen der Physik» que presento David Hilbert aquel sábado 20 de noviembre de 1915. En esta, la primera página, aparece uno de los comentarios hechos a mano por el mismo Hilbert. El comentario que se lee en la margen izquierda reza «von Einstein zuerst eingeführte», «introducido por primera vez por Einstein». Tomado de: http://bit.ly/1OnbBBC.
No queda hoy pues casi ninguna duda de la prioridad de Einstein en el descubrimiento de las ecuaciones finales de la Teoría General de la Relatividad. Algo que ocurrió no el 20 sino el 25 de noviembre como describiremos más adelante. Este hecho sin embargo no resta ningún mérito al trabajo de Hilbert quien demostraría posteriormente, en su artículo publicado en marzo de 1916, que las mismas ecuaciones podían obtenerse no a partir de razonamientos inductivos o por ensayo y error como lo haría Einstein, sino a partir de un proceso de deducción formal y comenzando en principios más fundamentales.
Como dijimos al principio, la disputa por la prioridad solo concluyó muchas décadas después de que murieran ambos gigantes. El tema, sin embargo y como era de esperarse, no solo ocupo la cabeza de colegas e historiadores, sino que molesto particularmente al mismo Einstein. El 26 de noviembre de 1915 (tan solo un día después de publicar la versión definitiva de las ecuaciones), Einstein le escribió a su amigo Heinrich Zangger:
La teoría es hermosa más allá de toda comparación. Sin embargo, solo un colega la ha entendido realmente y ahora esta buscando, de forma muy hábil, [que se le reconozca parte del crédito]. En mi experiencia personal difícilmente me he podido acercar más a la miseria humana que al trabajar en esta teoría y en todo lo relacionado con ella.
Esta carta pone claramente en evidencia su amargura por el asunto de la disputa. En medio de la felicidad que le producía concluir su labor de 8 años, se veía contrariado por el deseo de «otros» de «compartir» la paternidad de su hija mas querida.
Un mes después (el 20 de diciembre de 1915) y después de que su trabajo se hiciera público, no solo a través de la presentación en la Academia Prusiana de las Ciencias, sino de la aparición de su artículo el 4 de diciembre, Einstein le escribía una sentida carta a Hilbert en la que comentaba por primera vez su incomodidad por el tema de la prioridad:
Ha habido cierto resentimiento entre nosotros cuyas causa no quiero entrar a analizar. He luchado con éxito contra el sentimiento de amargura que esta situación me produce. Ahora estoy pensando otra vez en usted con sentimientos de verdadera amistad y le pido a usted que intente hacer lo mismo hacia mi. Es una verdadera lastima si dos personas reales que han surgido de este miserable mundo no se dieran el uno al otro un poco de placer.
Hilbert nunca responde directamente a esta carta. Sin embargo para marzo de 1916 se restablece nuevamente la comunicación entre ellos de forma muy amistosa; comunicación que no se interrumpirá hasta el final de la vida del matemático en 1943.
El mejor resumen de la cuestión de prioridad que he leído, lo ofrece Abraham Pais en su afamada biografía de Einstein. En ella Pais afirma que «Einstein fue el creador de la teoría física de la relatividad general, pero ambos él y Hilbert deben ser reconocidos como los descubridores de la ecuación fundamental . [Sin embargo] no estoy seguro que ellos estuvieran de acuerdo con este juicio«.
Portada del Articulo «Las Ecuaciones de Campo de la Gravedad» presentado por Einstein ante la Academia Prusiana de las Ciencias el 25 de Noviembre de 1915 y publicado tan solo una semana después el 2 de diciembre del mismo año. Una versión en inglés del artículo (que tiene tan solo 4 páginas) esta disponible aquí: http://bit.ly/Einstein-Nov25_1915.
Un Jueves 25 de Noviembre hace exactamente 100 años, Albert Einstein presenta ante la Clase de Física de la Academia Prusiana de las Ciencias en Berlin las ecuaciones de campo de la gravedad (en alemán «die feldgleichungen der gravitation», además el título literal de su presentación).
Después de 8 arduos años de búsqueda, llenos de amarguras y felicidades, enfermedad, amigos, críticos y competidores de marca mayor, Einstein al fin encontraba una versión satisfactoria de su teoría geométrica de la Gravedad. «La teoría es hermosa más allá de toda comparación«, le escribiría a su amigo Heinrich Zangger un día después.
Me alcanzo a imaginar la emoción que sintió Einstein aquel día. Se estaba quitando un pesado «piano» de encima. Estaba cansado, enfermo, un poco amargado no solo por el asunto Hilbert sino también por su situación familiar; pero la euforia de aquel día seguramente borraría cualquier pesadumbre que lo acompañara.
Pero su obra intelectual más hermosa, no era flor de un día. A lo largo de esta cronología hemos relatado como se fue desarrollando finalmente, paso a paso en las 3 semanas anteriores a este histórico 25 de noviembre de 1915. La de hoy simplemente era la «estocada» final; los últimos pincelazos en el lienzo; el momento de poner la «firma».
Aquí esta el secreto mejor guardado de la naturaleza, tal y como lo escribió Einstein aquel día ante los Académicos Prusianos:
Esta era la ecuación que había buscado prácticamente a tientas en la oscuridad.
Del lado izquierdo estaba un «tensor» de rango 2, Gim, covariante bajo cualquier transformación, que había escrito de forma explícita en su addendum de Noviembre 11 de 1915 y que dependía explícitamente de segundas derivadas del tensor métrico.
Del lado derecho estaba una cantidad nueva; una combinación del tensor momentum energía (Tim) y de su «magnitud escalar (T) que representa la cantidad de energía presente en un lugar del espacio-tiempo. Esta combinación particular es la novedad del momento. Es el descubrimiento que celebramos este día. Curiosamente Einstein, en sus cuadernos de 1912, había escrito esta combinación de cantidades pero las había rechazado por sus prejuicios de aquel momento. Había tenido la joya entre sus manos, pero la había despreciado por «piedras» de menor valor; esto le costaría «tan solo» 3 años de su vida y lo pondría en riesgo de perder la carrera de su vida.
Pero dejemos que sea el mismo Einstein el que resuma en pocas palabras lo que fue su búsqueda de las esquivas ecuaciones:
En dos artículos publicados recientemente, he mostrado como obtener las ecuaciones de campo de la gravedad que satisfacen el postulado de Relatividad General […]. Primero encontré las ecuaciones que contenían la teoría Newtoniana como una aproximación y que eran covariantes bajo transformaciones de determinante 1 [Artículo de Noviembre 4]. Luego encontré que esas ecuaciones eran equivalentes a otras ecuaciones covariantes generales, pero solo si el escalar del tensor de energía de la materia se hacía nulo [Addendum de Noviembre 11] […]. [Hace pocos días] encontré que se puede excluir esta hipótesis acerca del tensor de energía de la materia, si este término se introducía en las ecuaciones de campo de una forma sutilmente diferente [(el término 1/2 gim T)]. Las ecuaciones de campo para el vació, en las cuales basé la explicación del perihelio de Mercurio [del 18 de Noviembre], no son afectadas por esta modificación
Este es el inicio de su corto artículo de aquel 25 de noviembre. Después de desarrollar en tan solo 4 páginas la síntesis de su teoría, Einstein termina su artículo diciendo:
Con esto hemos finalmente completado la Teoría General de la Relatividad como estructura lógica. El postulado de relatividad en su formulación más general […] conduce inevitablemente a una teoría específica de la gravedad que también explica el movimiento del perihelio de Mercurio.
¡Vaya afirmación histórica!. En otras palabras Einstein dice: la gravedad es tan solo la manifestación de la estructura y armonía geométrica subyacente del Universo. Newton bailaría en su tumba.
Después agrega:
Sin embargo, el postulado de relatividad general no puede revelar nada nuevo y diferente acerca de la esencia de los procesos diversos de la naturaleza que la teoría especial de la relatividad ya nos ha enseñado. Las opiniones que he expresado [antes sobre] este asunto han sido equivocadas. Toda teoría física que satisfaga la teoría especial de la Relatividad puede, por medio de la [geometría diferencial], ser integrado en la teoría general de la relatividad
Con esta última afirmación Einstein «cierra» magistralmente la obra de su vida, una sola teoría que explica los fenómenos del mundo en el contexto de un espacio-tiempo de 4 dimensiones. En esta teoría, los resultados de la denominada «relatividad especial» (que tal y como lo muestra aquí es el corazón mismo de la teoría completa) son los físicamente relevantes; sin embargo ellos solo aplican en un espacio-tiempo plano. La segunda parte de la teoría, la relatividad general, no dice nada nuevo sobre los fenómenos del mundo, sino que expresa la idea de que esas mismas leyes de la relatividad especial pueden convertirse en leyes más generales con transformaciones geométricas en el contexto de un espacio-tiempo distorsionado por la presencia de la materia.
¡Larga vida a la Teoría de la Relatividad!
Esta famosa fotografía que fue posiblemente tomada en los años 1930, muestra a Einstein escribiendo en un tablero la forma más simple de sus Ecuaciones de Campo, una en la que no hay materia (de allí el cero del lado derecho). Recordemos que esta ecuación fue justamente la que utilizó para resolver el problema del perihelio de Mercurio y predecir la reflexión de la luz de las estrellas al pasar cerca al Sol.
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Para saber más
- «Subtle is the Lord, The Science and Life of Albert Einstein», Abraham Pais. Considerada una de las más completas biografías personales y científicas de Einstein.
- http://arxiv.org/pdf/1201.5352.pdf, http://arxiv.org/pdf/1201.5352.pdf, http://arxiv.org/pdf/1201.5353.pdf
La serie de artículos con el título común «From the Berlin ‘Entwurf’ field equations to the EInstein Tensor» de la Doctora Galina Weinstein, disponibles en el repositorio de preprints de los ArXiv en 2012. - http://arxiv.org/find/all/1/all:+AND+Galina+Weinstein/0/1/0/all/0/1
Los artículos de Historia de la Física en el Siglo XX de la Doctora Galina Weinstein están entre los más detallados que conozco. Están enumerados y se pueden descargar de forma gratuita en este enlace. - http://www.bu.edu/cphs/files/2015/04/2007_Renn-Stachel.pdf
Un artículo clásico reciente acerca de la historia de la obra de Hilbert de 1915. «Hilbert’s Foundation of Physics: from a theory of everything to a constituent of General Relativity», Jürgen Renn and John Stachel (2007). - http://einsteinpapers.press.princeton.edu
Colección en línea de los escritos de Einstein.
Trinoceronte 