¿Dónde esta la bolita?

Pi es una constante geométrica muy especial.  Aparece toda vez que un círculo, una circunferencia o una esfera asoma sus «narices» en la descripción idealizada del mundo que hacemos en un problema de física o astronomía.  Pero, ¿es Pi algo más que un número útil? o ¿es este número tan importante en el Universo de «verdad» como lo es en el Universo idealizado de las matemáticas y la geometría? Ahora que celebramos el Día de Pi más importante del siglo 21 (3/14/15,9:26:53 en formato americano), la pregunta por el verdadero lugar de pi en la descripción del universo físico vuelve a ganar actualidad.  Compilo aquí algunas leyes y relaciones físicas y astronómicas en las que el número Pi es protagonista sin que sea evidente «dónde esta la bolita».

«El Universo es Múltiplo de Pi #PiDay2015 »
Marzo 14 de 2015
http://bit.ly/trino-multiplo-pi

Celebrando Pi con dos amigos de Medellín: Shamadi que cumplió el 3/14 16 años y su mamá PI-edad (toda una familia «consagrada» a Pi).

El sábado 14 de marzo de 2015 fue una fecha muy especial para quienes gozamos con las curiosidades del fantástico número pi.  Si escribimos la fecha en el estándar americano, 3/14/15, y le agregamos una hora exacta del día, 9:26:53.589793238… el resultado, es una coincidencia que volvería loco a cualquier numerólogo: la fecha, con hora incluída, reprodujo por un brevísimo instante de tiempo la TOTALIDAD de los dígitos decimales del popular guarismo.

Para los aficionados y profesionales de las ciencias y las matemáticas que celebramos con entusiasmo la ocasión, la fecha no es más que un coincidencia sin ningún significado profundo (como parecen haberlo creído algunos), aunque si una oportunidad fantástica para hablar de matemáticas a diestra y siniestra, como no se hace normalmente el resto del año.

Como bien saben, yo soy uno de esos locos que vibra por Pi y por otros irracionales emparentados con él (lea mi entrada anterior Obsesión Irracional) y no me iba a perder tan singular celebración.  Para ello prepare y dicte una conferencia que ofrecí comenzando exactamente a la hora indicada.  Como no soy matemático, sino Físico y Astrónomo, mi enfoque para la charla fue el de intentar encontrar y mostrar a Pi escondido en el Universo.

El resultado me ha dejado a mí y creo también a quienes asistieron a la charla aquel 14 de marzo, impresionados: Pi parece estar en todas partes.

Pi en los ríos

Comencemos por los ríos.  Que aburrido sería el mundo si el camino que siguiera el agua al fluir desde las montañas hacia al mar, los lagos u otros ríos fuera completamente rectilíneo.  Por suerte el mundo es más interesante y los ríos parecen más serpientes grabadas en bajo relieve, que canales rectos fabricados por un aburrido arquitecto.

Los meandros del Río Amazonas (en esta foto un tramo en territorio peruano) también tienen relación con pi.

Los efectos y factores físicos que determinan la forma y longitud de los denominados «meandros» (las interminables curvas que dan los ríos) son diversos y complejos.  Aún así una propiedad numérica asombrosa emerge en medio de su serpenteante belleza.  Si se divide la longitud total de un río entre dos puntos arbitrarios (preferiblemente muy alejados uno de otro), por la distancia medida en línea recta entre esos mismos puntos, el resultado es siempre un número muy cercano a 3.   A este número se lo llama en inglés «meander ratio».

Si el río se extiende por kilómetros y los meandros se multiplican por decenas, el valor del «meander ratio» tiende a ser igual al valor de pi.  En términos matemáticos:

Distancia recorrida por el río / Distancia en línea recta = pi

Puesto de otra manera: si en un paseo al Amazonas te toca hacer un viaje en bote entre dos pueblos muy alejados, la distancia que recorrerás por el río (o el tiempo que tardarás en recorrerlo) será aproximadamente pi veces la distancia en línea recta (medida por ejemplo sobre un mapa) entre el punto de salida y de llegada.

Pi hará tu viaje por el Amazonas mucho más emocionante.

Pi y los Péndulos

El péndulo de un reloj de péndulo tiene también a pi escondido por ahí.

Receta para obtener Pi con una regla, una cuerda y un reloj.

• Ata un objeto pesado a una cuerda larga.
• Amarra la cuerda de un extremo de modo que el objeto quede colgando libremente.
• Haz oscilar al objeto de modo que la amplitud no sea muy grande (15 grados o menos).
• Mide el tiempo que le tarda al péndulo completar 5, 10 o 20 oscilaciones.
• Divide el tiempo total por el número de oscilaciones escogidas.

Ese número, que es igual a lo que le toma al péndulo realizar una oscilación, se llama el período de oscilación.

Si se multiplica el período por sí mismo (o se eleva al cuadrado como decimos en matemáticas), se multiplica luego el resultado por la aceleración de la gravedad (un número que en casi todas partes en la Tierra vale aproximadamente 9.8 m/s/s) y se divide lo que de por la longitud total del péndulo, el resultado SIEMPRE es el mismo: 39,4784…

«¡Pero este número no tiene nada que ver con Pi!» – se quejaran la mayoría.  Pero eso es porque no conocen los parientes del guarismo.  39.4784… es nada más y nada menos que 4 veces el cuadrado de pi.

Todos los péndulos del planeta, que oscilan con una amplitud pequeña, obedecen la misma regla básica:

Período x Período x gravedad / longitud = 4 pi x pi

Pero ¿dónde esta la bolita? ¿que tiene que ver un péndulo con un círculo o una esfera?.  He ahí el punto: ¡Nada!.  Tanto este ejemplo como el anterior con los ríos serpenteantes, demuestran que Pi es una constante que trasciende su definición original para aparecer donde nadie se lo espera.

Un Pi muy salado

Hasta un inocente salero tiene a pi por millones.

Pi esta hasta en la Sal de mesa.  Pero ¿dónde? ¿acaso los cristales de sal son esféricos o forman círculos cuando se los junta de cierta manera?. ¡Nada de eso!

A nivel microscópico la Sal de Mesa esta compuesta de una innumerable colección de átomos de Sodio y Cloro unidos por su mutua atracción eléctrica.  El átomo de Cloro, más grande y pesado que el de Sodio tiende a arrebatar al segundo su último electrón.  Con ello adquiere una carga eléctrica negativa.  El Sodio, que estaba en equilibrio eléctrico antes del «atraco», adquiere en el proceso una carga positiva.  Una vez cargados eléctricamente los dos átomos se atraen con una fuerza minúscula para nuestros estándares pero lo suficientemente poderosa a escala microscópica como para crear los granitos de Sal que terminan en nuestros alimentos.

En los años 1700s una serie de experimentos y teorías físicas permitieron precisar la fuerza con la que las cargas eléctricas se atraen.  Pues bien, justamente esas ideas nos enseñan como pi esta metido hasta en la sopa.

Si se eleva al cuadrado la carga (que es igual) de dos iones vecinos de Cloro y Sodio en la sal y se la divide primero por la fuerza de atracción eléctrica entre ellos y luego por el cuadrado de la distancia que separa sus centros, el resultado es siempre el mismo: 4 pi.

No importa que la sal haya sido extraída de una salina en la Guajira (Colombia), una mina en Africa o se encuentre disuelta en los océanos interiores de una Luna de Júpiter, la operación anterior siempre produce el mismo resultado:

carga x carga / (Fuerza x distancia x distancia ) = 4 pi

Los conocedores del tema se quejaran de que a la anterior ecuación le falta algo, una constante de la naturaleza llamada por los expertos permitividad eléctrica del vacío.    Sin embargo, es cierto también, como reconocerán esos mismos lectores agudos, que las constantes son simples reflejos de los patrones que usamos para medir las cantidades físicas.

Si se escogen de manera adecuada los patrones para medir carga, fuerza y distancia, la permitividad eléctrica del vacío podría volverse 1 y desaparecer de la anterior relación.  Aún así, no importa los patrones usados para medir el mundo eléctrico de los iones, el 4 pi de la relación anterior seguirá ahí.

Cuantos Pi

El color de la luz de Neón es un múltiplo de pi.

Hay un lugar increíble donde pi también esta presente. Es el mundo microscópico de los átomos y las partículas elementales.

Lejos de los círculos y las esferas del mundo que nos rodea, allí donde las reglas de la física convencional se rompen dando paso a reglas extrañas y ajenas a nosotros, Pi deja también su huella imborrable.

Un caso notable: las propiedades de la luz emitida por los gases.

Piensen por ejemplo en el Neón de las lamparas de un aviso luminoso.  Los átomos de Neón en estas lámparas están sometidos a una continúa descarga de energía que los excita permanentemente.  Esto significa que los electrones de los átomos allí presentes, en lugar de tener la energía más pequeña que puedan, están a veces excitados y listos para la acción.

Pero a un electrón excitado no le dura mucho la dicha.  Se calcula que pasará aproximadamente una cien millonésima de segundo antes que el electrón pierda la energía de su excitación y la entregue al espacio circundante como un rayo de luz.

La energía de los rayos de luz que salen de este proceso es muy precisa: ella es igual a la diferencia entre la energía del estado excitado y la mínima energía en la que puede estar el electrón.  Los átomos de cada elemento químico en el Universo producen rayos de luz de diferentes energías permitiéndole a los científicos identificarlos por su color.

Pero no todo es color de rosa (rosa Neón).  El mundo microscópico nos tiene preparada una trampa.  Uno de las leyes más importantes de la teoría cuántica dice que no es posible conocer con absoluta precisión todas las características de un sistema microscópico (los electrones excitados en el átomo de Neón por ejemplo).  Si conocemos con precisión la energía de excitación de un electrón, no podremos saber cuando adquirió o perdió esa energía.  Al contrario, si sabemos cuándo un electrón gana o pierde una cierta energía nos será imposible precisar cuánta energía exactamente tiene o tenía.

Si nuestros cuerpos macroscópicos obedecieran las leyes de la física cuántica, y en particular este, que es conocido como el principio de incertidumbre de Heisenberg, se podría conocer el peso exacto de una persona, pero no al mismo tiempo, su edad exacta.  Y al contrario, saber la edad con precisión (por ejemplo al celebrar su cumpleaños) nos impediría determinar su peso.  Extraño, ¿no?

El principio de incertidumbre en el Neón de una lampara hace que sus electrones no emitan siempre la misma energía cuando se desexcitan.  Dado que su excitación dura un brevísimo instante de tiempo y por lo tanto sabemos más o menos cuándo ocurrió, su energía no puede conocerse con la misma precisión.

¿Y dónde esta la bolita? o al menos ¿dónde esta pi?

Si se multiplica el tiempo que dura un electrón excitado, por el rango de energías en el que emite al desexcitarse, el resultado puede ser cualquiera pero nunca menor que un número mágico: 0.159154…

Como adivinaran este guarismo esta relacionado otra vez con pi: es el inverso del doble de pi.  Lo anterior puesto en matemáticas se lee como:

Incertidumbre en la Energía x Incertidumbre en el tiempo > 1/(2 pi)

Aquí no hay círculos o esferas.  Solo las reglas extrañas y fascinantes de la teoría cuántica, que parecen estar «contaminadas» también por el misterioso pi.

De nuevo, a mis agudos lectores les advierto que en la ecuación anterior falta una «constante» de la naturaleza: la constante de Planck.  El argumento sin embargo puede ser el mismo que utilizamos para la Sal y sus átomos eléctricos.  Aún mejor: la constante de Planck podría ser absorbida por la incertidumbre en la energía para convertirla en una incertidumbre en la frecuencia (Mega hertz) de la luz emitida.  ¡Ustedes escojan!

Expansión y Pi

La expansión del Universo también esta emparentada con pi.

Si los ejemplos anteriores no los han convencido de que Pi es algo más que círculos y esferas, he aquí un ejemplo para irse para atrás:  la expansión del Universo sería un múltiplo de Pi.

El fenómeno de la expansión del Universo fue descubierto en los años 20 por un Astrónomo Belga, George Lemaitre e independientemente por el que se llevo todo el crédito, Edwin Hubble.

Según la teoría de Einstein de la gravedad (la única capaz de explicar satisfactoriamente el fenómeno) el espacio entre las galaxias gana cada segundo kilómetros nuevos.  Las galaxias embebidas en esa red de carreteras que se ensancha, no necesitan moverse un ápice para que todos los días sus distancias mutuas aumenten.

Al ritmo al que se crea nuevo espacio en el Universo se lo llama Constante de Hubble (y en realidad no es constante y técnicamente tampoco sería de Hubble por las razones históricas previamente esbozadas).  Su valor actual ronda los 68 km/s/Mpc.  En «cristiano» esto significa que entre dos galaxias situadas una de otra a ~3 millones de años luz (1 Mpc) se crean 68 km cada segundo.  No parece nada para las enormes distancias que las separan, pero si se multiplica ese número por el número de segundos que ha vivido el Universo, el efecto se vuelve realmente notorio.

¿Dónde entra pi?

Según la teoría de la gravedad de Einstein el ritmo de expansión se relaciona con la cantidad de masa y energía que hay en el Universo.   A mayor masa, mayor será también el ritmo de expansión.  Pues bien si se divide el cuadrado de la constante de Hubble por la densidad total de masa y energía del Universo actual el resultado es un solo número: 8.37758…  Siguiendo la tradición de esta entrada, adivinaran que este número es pariente de pi.  En realidad su valor es igual a 8 pi /3.

En términos matemáticos:

Constante de Hubble x Constante de Hubble / Densidad de materia-energía = 8 pi / 3

Otra vez: ¿dónde esta la bolita?.  No hay ninguna esfera o círculo implicado en esta ecuación.  Lo único que tenemos son las reglas de la gravedad tal y como las describió Einstein en 1905 y que incorporan de manera natural el número pi.

Espero que quiénes hayan sobrevivido leyendo hasta este punto tengan ahora claro que pi es algo más que la razón entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia.

A decir verdad el bendito numerito aparece con más frecuencia en las leyes de la física de lo que uno podría esperar.  Propiedades que uno pensaría no tendrían nada que ver con un círculo o una esfera, tales como el número y tamaño de las curvas de un río, la atracción entre dos átomos cargados o la edad del Universo, parecen misteriosamente emparentados con pi.

El Universo, tal parece, es un múltiplo de pi.